Stetige Funktion rationale Zahl

Question

Die frage ist,ob es eine stetige Funktion gibt f: Q → {0,1} mit f(0)=0 und f(1)=1.

Ich habe leider noch kein Ansatz

Answer 1

Probier's mal mit $f:\mathbb{Q}\to\{0,1\}, f(x):=\begin{cases}0,\text{ falls }x\leq \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 1,\text{ falls }x>\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}$.
Jetzt musst du noch zeigen, dass diese Funktion tatsächlich stetig ist.