Funktionsgleichung aufstellen - Polynom 3. Grades

Question

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung und die Punkte P(8/0,4) und Q (4/y). Die Steigungen in den Punkten P und Q sind gleich. Die Tangente in P schneidet die y-Achse in dem Punkt A(0/8).

f(0)=0

f(8)=0,4

Dann habe ich mir gedacht:

Die Tangente geht durch A(0/8). Deshalb: y=mx+t    8=m*0+8. Deshalb m gleich 0. Da die Steigung in beiden Punkten gleich ist, folgt:

f´(8)=0

f´(4)=0

Kommt mir alles ein wenig komisch vor. Bitte keine direkte Lösung vorgeben!

LG

Answer 1

Hi Simon,

die Aufgabe ist gar nicht so einfach. Ich wüsste zumindest nicht, wie man das einfacher halten könnte, als ich das getan habe. Vielleicht findest Du ja noch was leichteres ;).

die zwei Bedingungen, die man sofort aufstellen kann, hast Du schon aufgestellt. Dies sind

f(0) = 0

f(8) = 0,4

Weiterhin ist bekannt:
f'(4) = f'(8)

Nun noch alles bekannte für die Tangente aufstellen und einsetzen: y = f'(4)*4 + 8 (dabei ist b = 8 schon verwendet, was denke ich klar ist?)
Das kann als weitere Gleichung verwendet werden. Zudem:
y = f(4)

Stellen wir mal nun das Gleichungssystem dazu auf, dann wird das klarer denke ich. Ausgegangen wird von
f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

sowie:
f(0) = 0
f(8) = 0,4
f'(4) = f'(8)
y = f'(4)*4 + 8
y = f(4)

Also:
d = 0
a*8^3 + b*8^2 + c*8 + d = 0,4
3a*4^2 + 2b*4 + c = 3a*8^2 + 2b*8 + c
y = (3a*4^2 + 2b*4 + c)*4 + 8
y = a*4^3 + b*4^2 + c*4 + d

Wir haben also 5 Unbekannte und 5 Gleichungen.
Mit Wolfram Alpha ergibt sich:
a = 0,05, b = -0,9, c = 4,05, d = 0 und y = 5

Sprich Q(4|5) und f(x) = 0,05x^3 - 0,9x^2 + 4,05x

Hoffe dies hilft weiter ;).

Grüße

Comments

Ist eine Fachabituraufgabe^^. Die Lösung versuche ich mal später nachzuvollziehen ;)

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Noch ein Beweis-/Kontrollbild:

Dabei ist f'(4) = -0,75 die Steigung der grünen und blauen Geraden, welche Tangenten zu P und Q sind. Blau ist die in der Aufgabe angesprochene Aufgabe ;).

Da hätte ich mein Fachabitur nicht machen wollen. Zumindest nicht ohne GTR :P. 

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Noch ein Beweis-/Kontrollbild:

Ich hätte es dir auch ohne geglaubt.

Da sieht man mal, auch im Fachabi wird einem nichts geschenkt ;)

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Noch ein Beweis-/Kontrollbild:

Ich hätte es dir auch ohne geglaubt.

:D

Da sieht man mal, auch im Fachabi wird einem nichts geschenkt ;)

Wohl wahr wie obige Aufgabe zeigt (die ich aber vielleicht auch einfach zu kompliziert gelöst habe...immerhin hats funktioniert :P).

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Eben^^. Georgborn hatte ja auch diesen Ansatz, scheint wohl wirklich die "Einfachste" Methode zu sein ;)

Ich habe noch so eine da, die versuch ich mal selber. Wenns nicht klappt, stelle ich nochmal eine Frage^.^

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Du meinst Marvin? Georgborn hat den Ansatz noch nicht angebracht?^^

Viel Spaß dabei. Und tue dem so, wenn Du hängen bleibst.

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Also das Prinzip dieser Aufgabe habe ich verstanden^^.

Answer 2

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Ursprung

f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c * x  + d
f ( 0 ) = 0  => d = 0
also
f ( x ) = a*x^3 + b*x^2 + c * x

und die Punkte P(8/0,4)
f ( 8 ) = 0.4

und Q (4/y). Die Steigungen in den Punkten P und Q sind gleich.

f ´( 8 ) = f ´( 4 )

Die Tangente in P schneidet die y-Achse in dem Punkt A(0/8).
f ( 8 ) = f´( 8 ) * 8 + 8
( kann bei Bedarf noch eine Skizze dazu einstellen ).

mfg Georg

Comments

Danke, aber leider ist mir ein kleiner Fehler bei der Angabe unterlaufen, siehe Kommentar bei der Antwort von Marvin.

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Es müßte dann gelten
f ( 4 ) = f ´( 4 ) * 4 + 8
( kann aber auch noch eine Skizze malen )

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Wäre super, wenn du das mal machen könntest.

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So sieht es meiner Meinung nach aus.
( Skizze nur symbolisch. Der tatsächliche Kurven-
verlauf ist anders )

mfg Georg

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Super, danke! Wenn du Zeit und Lust hast, wäre ich dir sehr dankbar mir mal die Lösung der Funktion aufzuzeigen.

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f ( 8 ) = 0.4
f ´( 8 ) = f ´( 4 )
f ( 4 ) = f ´( 4 ) * 4 + 8

f ( x ) = a*x³ + b*x² + c * x
f ´ ( x ) = 3 * a*x^2  + 2 * b*x + c

f ( 8 ) = a * 8^3 + b * 8^2 + c * 8 = 0.4
f ´( 8 ) = f ´( 4 )
3 * a * 8^2 + 2 * b * 8 + c = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c
f ( 4 ) = a*4^3 + b*4^2 + c*4
f ´( 4 ) = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c
f ( 4 ) = f ´( 4 ) * 4 + 8
a*4^3 + b*4^2 + c*4 = ( 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c ) * 4 + 8

a * 8^3 + b * 8^2 + c * 8 = 0.4
3 * a * 8^2 + 2 * b * 8 + c = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c
a*4^3 + b*4^2 + c*4 = ( 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 + c ) * 4 + 8

Ergebnis
a = 0.05
b = -0.9
c = 4.05

f ( x ) = 0.05 * x^3 - 0.9 * x^2 + 4.05 * x

Answer 3

8=m*0+8 daraus folgt nicht m = 0.

Setzte m =1 dann gilt 8=1*0+8 .Da hast dein Gegenbeispiel.

Die Steigung kannst du durch den Punkt 6/0.4 berechnen,da die Grade ja auch durch diesen Punkt gehen soll.

Das reicht bestimmt als Tipp.
Auf den Rest bist du ja auch alleine gekommen.

Comments

Oh...Entschuldigung^^. Die Tangente an Q schneidet die y-Achse im Punkt A(0/8).

Was kann man da jetzt machen?

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Ich denke mal dann wirst du alles in Abhängigkeit von y machen müssen. Setze dir das als Variable berechne dann die Steigung in Abhängigkeit von y und setze y als Konstante in deinem Gleichungssystem.

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Bist du dir sicher? Ist eigentlich die erste Aufgabe zu dem Thema, die wir bekommen haben. Aber ich mach das mal.