sei G eine Gruppe. Zeige, dass es eine Äquivalenzrelation ist. [ x=gyg^{-1}]

Question

Sei G eine Gruppe.  Zeigen Sie, dass die durch
$$ x \sim y=\exists g \in G \quad \text { mit } \quad x=g y g^{-1} $$
definierte Relation eine Äuivalenrelation ist.

(Elemente x und y mit \(x \sim y\) heißen konjugiert)

Über eine ausführliche Erklärung wie man das zeigen kann wäre ich sehr dankbar :)

Vielen lieben Dank schon mal im voraus

Answer 1

Äquivalenzrelation heißt doch
1. Rel. ist reflexiv, musst du prüfen, ob jedes Element mit sich selbst in der Relation steht,
das hieße hier:
Sei x aus G.    gibt es ein g mit x = g*x*g^{-1}  Ja, gibt es: Nimm für g das neutrale El. von G
2. Rel. muss symmetrisch sein:
Musst du prüfen, ob aus x ~ y auch y ~ x folgt.
Seien also x,y aus G mit x ~ y dann gibt es ein g mit x = g*y*g^{-1}  
Dann ist   aber   x*g = g*y
also      g^{-1}* x*g = y  bzw. y =  g^{-1}* x*g 
Also gibt es ein h aus G mit y = h * x * h^{-1} nämlich h = g^{-1} und zu jedem g in G gibt es ja ein Inverses.
3. Rel muss transitiv sein, also prüfen, ob aus
x ~ y und y ~ z folgt x ~ z.
Seien also x,y,z aus G mit  x ~ y und y ~ z
Dann gibt es g und h aus G mit   x = g*y*g^{-1} und   y = h*z*h^{-1}
also  x = g* h*z*h^{-1}*g^{-1}   = (g*h) * z * (g*h)^{-1}  weil (g*h)^{-1} =h^{-1}*g^{-1}
Also gibt es ein i aus G mit  x = i * z * i^{-1}  nämlich mit i=g*h
                       

Comments

Also ich verstehe das so nicht. Dass man zeigen muss, dass es reflexiv, symmetrisch und transitiv ist damit es eine äquivalenrelation ist, habe ich verstanden. Aber wie man dass macht verstehe ich nicht. Kannst Du das vielleicht nochmal erklären?

Danke

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Probier es doch mal mit reflexiv.
da müsste ja jedes Element x mit sich selbst in der Rel. stehen, also
es muss immer gelten x~x.
Das heisst bei deiner Rel: Es muss ein g aus G geben mit g^{-1} * x * g = x
um das zu zeigen, musst du so ein g angeben.
Meine Idee war: Nimm für g das neutrale Element e, das es ja in jeder Gruppe geben
muss und es ist immer e^{-1} = e also wäre
e^{-1} * x* e = e * x * e = x  Denn e*x=x und x*e = x gilt ja für das neutrale El.
Also gibt es soein g, wie es in der Def. gefordert wird: Es ist das neutr. El. von G.

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das erste habe ich soweit verstanden. Das Dritte eigentlich auch; das ist ja quasi die Lösung oder?Allerdings habe ich immernoch Probleme dabei, die Symmetrie zu zeigen. Was meinst du denn am Ende mit "zu jedem g in G gibt es ja ein Inverses"? Dass ein Inverses existiert weiß ich; ich weiß nur nicht, wie ich danach weitermachen soll.