Differentialgleichung zweiter Ordnung partikulärer Ansatz. y'' + 4y' - 5y = 24sin(x) + 10 cos(x)

Question

Wie sieht bei dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung der partikuläre Ansatz aus?

\( \ddot{y}+4 \dot{y}-5 y=24 \sin (x)+10 \cos (x) \)

Answer 1

berechne erst die homogene LÖsung, indem Du die rechte Seite 0 setzt.

Du kommst auf die Eigenwerte λ_(1) = -5 und λ_(2) = 1.

Da die rechte Seite keine reellen e-Funktion beinhaltet, haben wir schonmal keinen Resonanzfall vorliegen.

Der zu wählende Ansatz ist y_(p) = a*sin(x) + b*cos(x).

Dieser ist zweimal abzuleiten und in die DGL einzusetzen. Ein Koeffizientenvergleich liefert a = -2 und b = -3.

Gesamtlösung ist folglich:

y = c_(1)*e^{-5x} + c_(2)*e^x - 2*sin(x) - 3*cos(x)

Grüße

Comments

Kannst du nochmal die Koeffizenten von der Bestimmen zur Kontrolle:

\( \ddot{y}+4 \dot{y}+13 y=26 x+47+145 \cos (2 x) \)

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Du könntest ja mal kurz Deine Koeffizienten herzeigen. Das ist leicht zu kontrollieren, indem man es dann vollends einsetzt :D.

Für den homogenen Teil erhalte ich: y_(h) = c_(1)*e^{-2x}*sin(3x) + c_(2)*e^{-2x}*cos(3x)

;)

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Insgesamt habe ich

y = y_(h) + 2x + 3 + 8sin(2x) + 9cos(2x)

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ach ich komm nicht drauf zu lang die rechnung oder ich habe es falsch gemacht ^^

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Schon der Ansatz beim partikulären ist falsch. Warum hast Du da das Argument 3x sitzen? Wir haben doch 145cos(2x), also das Argument 2x.

Probiers nochmals mit a*sin(2x) + b*cos(2x) ;).

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oh ok stimmt ich machs nochmal: ist das der vollständige ansatz?

Dx+E+x*(A*sin(2x) + B*cos(2x))

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Nope, das x hat das nichts verloren. Wir haben keine Resonanz vorliegen.

y_(p) = Dx+E+A*sin(2x) + B*cos(2x)

reicht aus.

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komisch in meiner tabelle steht da nen x und wann müsste da ein x hin?

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Nur, wenn ein Resonanzfall vorliegt, sprich, wenn die homogene Lösung und die partikuläre Lösung gleich sind.

Ich meine hast Du den  Störterm r(x) = 2e^{3x} und bei der homogenen Lösungen die Eigenwerte λ = 1 und λ = 3, dann liegt wegen λ = 3 und dem Exponenten 3 im Störterm ein Resonanzfall vor.

Der rechte Seite-Ansatz wäre dann hier nicht a*e^{3x}, sondern a*x*e^{3x}.

Da das bei uns aber nicht zutrifft, brauchen wir auch kein x voransetzen!

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ok jetzt versteh ich das danke :)

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bei resonanz werden die aufgaben aufjedenfall ziemlich lang oder gibt es da irgendwelche vereinfachungen?

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Sie werden nur insofern länger, dass Du den Faktor x hinzusetzen musst (oder eine höhere Potenz) und die Ableitungen einen Tick komplizierter werden. Mehr ist da aber eigentlich nicht :P.

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das sagst du so einfach :D

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:D \(      \)

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kannst du mir noch bei dem ansatz dieser dgl helfen. hier bekomm ich noch nicht mal die Nullstellen raus:

\( y^{(4)}+2 \ddot{y}+y=\sin (x) \)

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Bitte neue Fragen auch immer als neue Frage stellen. Dann bekommste auch schneller Antwort und es wird übersichtlicher :P.

Für obiges: Arbeite  mit der Substitution, wenn Du die biquadratische Gleichung hast.

Ich komme auf:

x_(1,2,3,4) = ±i

Einverstanden? ;)

Grüße

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ja danke ich wusste gar nicht das es sowas gibt :D danke :)