Berechnen Sie daraus mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarprodukts

Question

Aufgabe:

Sei die Basis \( \left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}5 \\ 7\end{array}\right) \) des \( \mathbb{R}^{2} \) gegeben. Berechnen Sie daraus mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine Orthonormalbasis bezüglich des Standardskalarprodukts \( < , > \) und eine Orthonormalbasis bezüglich des Skalarproduktes \( (v, v):=u^{t}\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -1 & 3\end{array}\right) v \)

Answer 1

(2/3)  (5/7) mach ich mal mit Stand.skalarprod.

erst mal den ersten normieren  also |(2/3)| =  wurzel(  (2/3)*(2/3) ) = wurzel(  13 )
also  q1= (1 / wurzel(  13 ) ) · (2/3)

für den zweiten erst mal q2 = q1 -  (a2*q1) · a2 und dann normieren
q2 = (1 / wurzel(  13 ) ) · (2/3)  - ( (5/7)* (2/3) * (1 / wurzel(  13 ) ) · (5/7)

 = (1 / wurzel(  13 ) ) · (2/3)  -  (31 / wurzel(  13 ) ) · (5/7)
= (  - 153 / wurzel(  13 )    ;  - 214/ wurzel(  13 ) ) =  ( -153 ; -214 ) * (1 / wurzel(  13 ))

und jetzt noch normieren, also *wurzel(  13 ) /  länge von ( -153 ; -214 )

Answer 2

Einmal eine Gram-Schmidt-Verfahren Anleitung: https://mathepedia.de/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren.html

Du setzt deinen ersten Vektor als u1 . Und den zweiten als u2. Der Rest ist einfach nur einsetzen in die Formeln.

Wie das Standardskalarprodukt definiert ist,wirst du ja wahrscheinlich wissen.