Question

Begründen Sie, jeweils für die Fälle K = Z₅, K = R und K = C, ob die Matrizen A, B, C ∈ K2×2 diagonalisierbar sind.

Dazu hab ich 3 Matrizen. Ich weiß was ich machen muss, aber mein Problem ist wie ich zwischen den Fällen da oben unterscheiden soll? Immerhin ändert sich das Ergebnis ja nicht. Und das wichtigste:

Bei K = Z₅ hab ich keine Ahnung was mit dem Z₅ gemeint ist!

Als Beispiel:

0    3

A = (           )

-1    1

ich hab für die beiden Lambdas folgendes: λ_1/2 =  0,5 ± √ - (11/4)

ja also komme ich zu dem Entschluss dass es nur im K = C lösbar ist, weil irrationale Lambda.

λ_1/2 =  0,5 ± i * √(11/4)

so ist das alles so richtig?! und vokalem, kann ich Lambda weiter kürzen oder anders schreiben, weil ich keine Ahnung hab wie ich damit weiter rechnen soll!

Vielen Lieben dank für die Antworten :)

Comments

komplex und nicht irrational ;)

Und beim Beispiel:

1   2

B = (       )   komme ich auf keine Lösung da λ_1/2  = 1 und ich den Eigenvektor nicht berechnen

0   1   kann

Ist es richtig wenn ich da sage das B nicht diagonalisierbar ist, oder hab ich einen Fehler?

Answer 1

Bei K = Z₅ hab ich keine Ahnung was mit dem Z₅ gemeint ist!

Als Beispiel:

0    3

A = (           )

-1    1

ich hab für die beiden Lambdas folgendes: λ_1/2 =  0,5 ± √ - (11/4)

ja also komme ich zu dem Entschluss dass es nur im K = C lösbar ist, weil irrationale Lambda.

λ_1/2 =  0,5 ± i * √(11/4)

so ist das alles so richtig?! und vokalem, kann ich Lambda weiter kürzen oder anders schreiben, weil ich keine Ahnung hab wie ich damit weiter rechnen soll!

Erst mal in C   lambda 1,2 = (1 +- i*wurzel(11)) / 2      und weiter musst du doch nicht, Eigenvektoren

sind doch nicht verlangt oder?

in R keine Eigenwerte, also nicht diagonalisierbar.

in Z₅ :   Da musst du alles modulo 5 rechnen.

Das char. Polynom war ja wohl   x^2 - x +3 und wenn du in Z₅  Lösungen für

x^2 - x +3 = 0 suchst, probierst du einfach die 5 Elemente 0,1,2,3,4 von  Z₅  durch:

für x=0 gibt es  3 = 0 also falsch.

für x=1 gibt es  3 = 0 also falsch.

für x=2 gibt es  5 = 0 also 0=0  also wahr, 2 ist damit ein Eigenwert.

für x=3 gibt es  4 = 0 also falsch

für x=4 gibt es  5 = 0 also 0=0 also wahr.    Also ist 4 ein Eigenwert.

Und da es zwei Eigenwerte gibt ist die Mat. diagonalisierbar.