Welche Figuren werden durch A_{1} und A_{2} beschrieben? (Punktmengen)

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die beiden Punktmengen

\( \begin{array}{l} A_{1}=\left\{\vec{x} \mid \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \text { und } \\ A_{2}=\left\{\vec{x} \mid \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)+u \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right)\right\} \end{array} \)

a) Welche Figuren werden durch \( \mathrm{A}_{1} \) und \( \mathrm{A}_{2} \) beschrieben?

b) Welche Figur entsteht beim Schnitt von \( \mathrm{A}_{1} \) mit \( \mathrm{A}_{2} \) ?

c) Beschreiben Sie die Figur durch Vektoren bzw. durch einen Vektor.

d) Stellen Sie \( \mathrm{A}_{2} \) und die Schnittfigur in einem Koordinatensystem dar.

Answer 1

A1 ist eine Ebene und A2 eine Gerade, da die beiden Vektoren hinter t und u lin. abh. sind.

b) Schnitt dazu A2 in der Form (o;0;1) + t*(1;2;1)  durch den nächsten Summanden kommt nichst neues dazu
gleichsetzen von A1 und dieser Form von A2 gibt das Gl.syst.
       s  -  t = -1
r    + s  - 2t = -2
            -t = -2

also t=2   s=1    r= 1
einsetzten bei A1 bzw. A2 gibt den Vektor  (2 / 4 /3 )