Ableitung von Funktion und ihre Nullpunkte bestimmen. x^2/x-1

Question

ich habe folgendes Problem mit dieser Funktion. Meine Aufgabe ist es diese abzuleiten und die Nullpunkte zu bestimmen. Anschliessend sollte ich bestimmen an welchen Punkten sie steigend bzw. sinkend ist.

$$f(x)=\frac { { x }^{ 2 } }{ x-1 } $$

D= R/ (1)

als erste Ableitung habe ich folgende Lösung erhalten $$f'(x)=\frac { x*(x-2)\quad  }{ (x-1)^{ 2 } } $$

Die Nullpunkte die ich nun erhalten habe sind 0 und 2. Bei 0 hat die Funktion ihr maximum und bei 2 ihr Minimum (ist das so korrekt). Wie kann ich nun bestimmen ab welchem Punkt die Funktion steigend bzw. sinkend ist? Kann ich ganz simpel sagen von x>0 und x>2 ist sie steigend?

Ausserdem würde mich interessieren wie ich sagen kann wo die Funktion konkav bzw. konvex ist. Mir ist klar, dass ich die 2. Ableitung benötige, die dann 2/(x-1)^3 lauten würde. Was ich nung mit der anfangen soll ist mir noch ein Rätsel.

Dankeschön.

Answer 1

Hi,

1. Es sind lokale Minima und Maxima keine globalen.

2. Mit dem Vorzeichen der Ableitung kannst du überprüfen wo die Funktion steigt und wo sie fällt.

Alternative: Argumentiere mit dem Verhalten gegen die Polstelle und den einzigen beiden Extremwerten.

3. Die Polstelle teilt die Funktion in 2 Bereiche. Über das Vorzeichen der 2. Ableitung kannst du für beide Bereiche bestimmen, ob sie konvex oder konkav sind oder weder noch sind.

Alternative: Mit dem Ergebnis aus 2. argumentieren.

Gruß

Comments

zu Punkt 3: heisst das, dass die 2. Ableitung > 0 sein muss damit ich sehen kann ob die Funktion konkav ist? Dann wäre die Lösung ja x>1, stimmt das so? Konvex wäre es dann x<1?

Betreffend steigend/sinkend wäre die Funktion dann bei x>1 steigend?

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Bezüglich konvex und konkav ist es genau umgekehrt wie du gesagt hast.

Die Funktion steigt wenn die Ableitung positiv ist und sinkt wenn sie negativ ist. Das Vorzeichen deiner Ableitung hängt nur vom Zähler ab.

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okay das heisst also die Funktion steigt bei x>0 und x>2 und sinkt dementsprechend bei x<0 und x<2.

Kann ich beim bestimmen wo eine Funktion konkav bzw. konvex ist, in der Regel auch "nur" den Zähler anschauen?

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Du kannst nie "in der Regel" nur den Zähler anschauen. Bei der Ableitung gings, weil im Nenner durch das Quadrat immer eine positive Zahl rauskommt.

Außerdem wäre besser: 1>x> 0 funktion steigt, und 2>x>1 funktion sinkt :)