Wurzel aus komplexer Zahl. Winkel für Polardarstellung finden. √(-3i)

Question

Bitte kann mir jemand die folgende wurzel lösen

√(-3i)

Welchen Winkel nimmt man hier wenn man es in der polar darstellung schreiben möchte ?

Mfg

Answer 1

-3i ist ja  0 + (-3)*i also liegt das auf dem negativen Teil der i-Achse, also Winkel 270° bzw. 3/2*pi
also für die Wurzel der halbe Winkel  3/4 pi und wegen Betrag = 3 ist es also
√(-3i)  = -0,5*wurzel(6) + 0,5*wurzel(6)*i      oder eben das Ganze mal -1

Comments

Warum √(6

Rechnet man hier nicht mit sinus und kosinus?

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Kann sein, dass ich mich da vertippt habe.

Answer 2

√(-3i)

= √(-3* e^{i*270°})

=√3 * e^{i*(270°/2 + k*360°/2)}

1. Möglichkeit

√(-3i) = √3 * e^{i*135°} = √3 * (cos(135°) + i*sin(135°))

= √3*(-1/√2 + i*1/√2)

= -(√(3/2)) + i*√(3/2)

2. Möglichkeit (180° gedreht)

√(-3i) =  √(3/2) - i*√(3/2)

Wenn du keine Wurzeln im Nenner haben sollst noch umschreiben zu:

-1/2 (√(6)) + i *1/2*√(6)

und

1/2 (√(6)) - i *1/2*√(6)

Comments

Danke

Geht das bei √(-6i) gleich ?

Für den Winkel hat man den selben dann oder?

√(-6i)=√(3)-√(3)i

Schaut das dann so aus

Answer 3

Mir fehlt in den 2 Antworten noch das Ergebnis des Winkels:

Wenn Im(x) = -Re(x), ist das ein halber rechter Winkel also Ergebniswinkel = -45° = -Pi/4 rad 

(und der gegenüber wenn man beide Vorzeichen vertauscht 180°-45°= 135° = Pi *3/4 rad)

Und zur Frage bei sqrt(-6i) -> ja, am Winkel ändert sich da nichts, da sich beide re und im Teile gleich ändern.