Ableitung gebrochen rationaler Funktionsschar

Question

anscheinend bin ich wirklich zu doof um Funktionsscharen richtig abzuleiten.

Folgende Aufgabe:

F_t (x) = ( - x³ + 4t³ ) / tx²  daraus folgt doch [ (- x³ +4t³ ) * 2tx - (- 3x² ) * tx² ) ] / (tx² ) ²

Rechne ich das nun aber aus, komme ich auf ein Ergebnis von (tx⁴ + 8t⁴x ) / tx³

Vielleicht könnte mir jemand für Dummys erklären wie das richtig funktioniert, denn ich glaube, dass ich doch die richtige Regel nutze um abzuleiten

Vielen Dank

Answer 1

Dein Fehler liegt bereits in der 1.Zeile

F_t (x) = ( - x³ + 4t³ ) / tx²  daraus folgt doch [ (- x³ +4t³ ) * 2tx - (- 3x² ) * tx² ) ] / (tx² ) ²

Die Qutionentenregel allgemein
( u / v ) ´ = ( u´ * v - u  *  v ´ ) / v^2

F_t (x) = ( - x³ + 4t³ ) / tx² 
[  (- 3x² ) * tx²   - (- x³ +4t³ ) * 2tx  ] / ( tx² ) ²
[ - 3 * t *x^4 - ( -2 * t * x^4 + 8 * t^4 * x ) ] / ( t^2 * x^4 )
( - 3 * t *x^4 + 2 * t * x^4 - 8 * t^4 * x  ] / ( t^2 * x^4 )
( - 1 * t *x^4 - 8 * t^4 * x  ) / ( t^2 * x^4 )
tx (   - x^3 - 8 * t ^3  ) / ( t^2 * x^4 )
(   - x^3 - 8 * t ^3  ) / ( t * x^3 )

Comments

also ist die Reihenfolge doch so wichtig?

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Die Quotientenregel allgemein
( u / v ) ´ =
( u´ * v - u  *  v ´ )
du hast
( u * v ´- u ´ *  v  ) 
gerechnet.

Allgemein
a - b ist ungleich b - a

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Ah danke schön. Ich probiere es jetzt mal richtig rum :)

Answer 2

Hi, hier die regelgerechte Ableitung mit anschließendem Kürzen und Zusammenfassen:
$$ F_t(x) = \frac { -x^3 + 4t^3 }{ tx^2 } \\\,\\ F_t'(x) = \frac { -3x^2 \cdot tx^2 - \left(-x^3 + 4t^3\right) \cdot 2tx }{ \left(tx^2\right)^2 } = \ldots = \frac { -x^3 - 8t^3 }{ tx^3 } $$
Du hast einen Fehler in der Ableitung (falsche Richtung der Differenz im Zähler) und irgendwelche Fehler beim Kürzen gemacht.

Comments

Den Fehler bei der Richtung der Differenz im Zähler verstehe ich nicht.

Ich rechne doch Zähler * Ableitung Nenner - Ableitung Zähler * Nenner / Nenner ^2 ?

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Eben das ist falsch. Die Differenz im Zähler der Quotientenregel muss genau anders herum gebildet werden.