Folge der Fibonacci-Zahlen rekursiv definiert. Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.

Question

Wir definieren die Folge \(({f}_{n}){}_{n≥1}\) der Fibonacci-Zahlen rekursiv:

\({f}_{1} = {f}_{2} = 1\) und \({f}_{n+2} = {f}_{n+1} + {f}_{n}\) für \(n ≥ 1.\)

1)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius \(r\) der Potenzreihe $$ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}{{ f }_{ n+1 }{ z }^{ n }}. $$

2)

Beweisen Sie, dass \( |z|< r \) die Identität \( f(z)=\frac { 1 }{ 1-z-{ z }^{ 2 } } \) gilt.

3)

Mit Hilfe des folgenden Satzes berechnen Sie \( {f}^{10}(0) \).

Satz:

Sei  \( f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{{ c }_{ n }{ (x-a) }^{ n }} \)  eine reelle Potenzreihe mit Konvergenzradius
\( r > 0 \). Dann gilt:

a) Auf \( (a − r, a + r) \) ist die Funktion \( f \) beliebig oft differenzierbar und es gilt $$ f'(x):=\sum_{n=1}^{\infty}{{ nc }_{ n }{ (x-a) }^{ n-1 }}für \quad a-r < x < a+r.  $$

b) für jedes \( n ≥ 0 \) gilt $$ { c }_{ n }=\frac { 1 }{ n! }{ f }^{ (n) }(a).  $$

Comments

https://www.mathelounge.de/203970/wir-definieren-die-folge-n%E2%89%A51-der-fibonacci-zahlen-rekursiv

Existiert nicht bereits, nur die Aufgabenstellung klingt gleich.

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Wie soll eine aussagekräftigere Überschrift denn lauten? 

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Vielleicht:

Wir betrachten die Fibonacci-Folge.

Answer 1

So eins nach dem andern. Ich fang mal mit 1) an.

Zunächst beobachtet man, dass die Folgeglieder der Fibonacci-Folge stets positiv sind und dass die Folge monoton steigt. Wir wollen zur Untersuchung bezüglich des Konvergenzradius das Quotientenkriterium anwenden. Es gilt also

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} $$

zu bestimmen. Also vorweg: Dieser Grenzwert existiert. An dieser Stelle gehen wir jetzt einen etwas unüblichen Weg und bestimmen erst den hypothetischen Grenzwert und zeigen dann, dass dieser überhaupt existiert. Normal macht man es ja andersrum oder beide Schritte in einem.

Also, nehmen wir mal an es gilt für ein \(a\in\mathbb{R}\):

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} = a.$$

Dann folgt natürlich auch

$$ a = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n}}{f_{n-1}} = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{f_{n-1}}{f_{n}}} = \frac{1}{\frac{1}{a}}$$

d.h. es gilt \(\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n-1}}{f_n} = \frac{1}{a}~(*)\).

Wir erhalten jetzt also ausgehend von der Ausgangsgleichung oben

$$ a = \lim_{n\rightarrow \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n \rightarrow \infty}  \frac{f_n + f_{n-1}}{f_n} = \lim_{n\rightarrow \infty} 1 + \frac{f_{n-1}}{f_n}  \overset{(*)}{=}  \frac{1}{a}.$$

Es muss also die Gleichung \(a=1+ \frac{1}{a}\quad\Leftrightarrow \quad a^2-a-1 =0 \) gelöst werden. Da wir nur positive Lösungen suchen, erhalten wir \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) (auch goldener Schnitt genannt) als Lösung der Gleichung. Dies ist auch der Grenzwert der Folge. Den Beweis, dass der Grenzwert überhaupt existiert überlasse ich dir, da ich nicht weiß, was ihr alles zur Fibonacci-Folge in der Vorlesung hattet. Je nach dem was ihr für Identitäten bewiesen habt, ist das ganz leicht und sicher eine gute Übung.

Die Reihe konvergiert also für alle \(z\) mit \(|z|<\frac{1}{\varphi} \).

Comments

Hat jemand noch eine Idee zu 2 oder 3?