Brauche Hilfe beim Gleichungssystem lösen: (1) : 2(x-3y)-(5x-2y)=10 (2) : 7y-5(3x+4y)=85.

Question

Kann mir einer helfen dieses Gleichungssystem zu lösen ?

(1) :   2(x-3y)-(5x-2y)=10

(2) :   7y-5(3x+4y)=85

welches verfahren verwendet wir ist egal !

Answer 1

Als erstes multipliziert man die Klammern aus, dadurch wird das System schonmal deutlich übersichtlicher:

2(x-3y) - (5x-2y) = 10
7y - 5(3x+4y) = 85

2x - 6y - 5x + 2y = 10
7y - 15x - 20y = 85

-3x - 4y = 10
-15x - 13y = 85

Jetzt zieht man das fünffache der ersten Gleichung von der zweiten ab, weil dann der x-Term verschwindet!

-3x -4y = 10
-15x-13y - 5*(-3x - 4y) = 85 - 5*10

-3x - 4y = 10
-15x + 15x - 13y + 20y = 35

-3x - 4y = 10
7y = 35

-3x - 4y = 10
y = 5

-3x - 4*5 = 10
y = 5

-3x = 30
y = 5

x = -10
y = 5

Comments

was meinen sie mit "Jetzt zieht man das fünffache der ersten Gleichung von der zweiten ab, weil dann der x-Term verschwindet!" ?

Und wie kommen sie darauf?

Ich dachte nachdem man das übersichtlicher gemacht hat, muss man das nach einen der drei verfahren auflösen ?

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Richtig, das Verfahren, das ich gemacht habe, nennt man wohl Additionsverfahren.

Ich habe erkannt, dass es eine geschickte Methode gibt, die beiden Gleichungen so zu kombinieren, dass eine Variable herausfällt.

Ich demonstriere das nochmal Schritt für Schritt:

-3x - 4y = 10
-15x - 13y = 85

Hier waren wir angekommen.
Ich sehe jetzt, dass die Faktoren vor dem x (nämlich -3 und -15) ein recht einfaches gemeinsames Vielfaches, nämlich 15 haben.

Darum nehme ich die erste Gleichung mit -5 mal und erhalte dann:

15x + 20y = -50
-15x - 13y = 85

Die zweite Gleichung bleibt natürlich unverändert!

Wenn ich jetzt beide Gleichungen addiere, dann heben sich 15x und -15x weg und es bleibt nur das y in der Gleichung übrig: sie kann dann aufgelöst werden, wie ich das oben demonstriert habe.

 

Man kann das System ausgehend von

-3x - 4y = 10
-15x - 13y = 85

natürlich auch zum Beispiel durch das Gleichsetzungsverfahren lösen, also z.B. beide Gleichungen nach x umstellen und miteinander gleichsetzen.

Aber dadurch treten sehr unschöne Brüche auf, die man durch meine Methode eigentlich immer vermeiden kann, weshalb sie sich besonders zum "Kopfrechnen" also ohne Taschenrechner eignet.