Ist der Endomorphismus diagonalisierbar oder trigonalisierbar?

Question

habe wider eine Frage. Die Aufgabenstellung:

Sei K ein K örper, und V ein K-Vektorraum, und x1, x2, x3 ∈ V eine

Wir betrachten den Endomorphismus f : V → V mit

f(x1) = x2, f(x2) = x3, f(x3) = −6x2 − 3x3

(i) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χf (T) ∈ K[T].

(ii) Entscheiden Sie für die K örper K = ℝ, ℂ, F3, F17, ob der Endomorphismus f trigo-

(iii) Entscheiden Sie für K = ℝ, ℂ, F3, F17, ob f diagonalisierbar

Zur Aufgabe 1:

Charakteristisches Polynom: $$ -6x_{ 2 }x_{ 3 }-3x_{ 2 }x_{ 3 }^{ 2 }+6x_{ 2 }^{ 2 }\lambda+3x_{ 3 }^{ 2 }\lambda-4x_{ 2 }x_{ 3 }\lambda+7x_{ 2 }\lambda^{ 2 }-2x_{ 3 }\lambda^{ 2 }-\lambda^{ 3 } $$

Leider weiß ich ab diesem Zeitpunkt nicht mehr weiter. Könnt ihr mir einen Tipp geben?

Answer 1

Ist mein Hobby

0 0 0

1 0 -6    :=  A     ( 1a )

0 1 -3

Hier du musst da was missverstanden haben; x1;2;3 sind Basisvektoren. Schau dir mal an, wie die Matrix A auszusehen hat. Auf Determinanten mit freien Parametern lasse ich mich hier nicht ein; ich kann mich hier nur wiederholen. Ihr solltet Elementarteiler ( ET ) lernen; jede Matrix löst ihre eigene Säkulardeterminante ( SD )

Was ist zu tun? Mit einem Online Matrixrechner die Potenzen A ² so wie A ³ bestimmen .

0 0 0

0 -6 18    =  A ²    ( 1b )

1 -3 3

0 0 0

-6 18 -18    =  A  ³    ( 1c )

-3 3 9

A ³  + a2 A ²  + a1 A + a0 * 1| = 0   ( 2a )

Wie gesagt; die Eigenwerte E1;2;3 sind die Wurzeln von Polynom ( 2a ) ; dann folgt aber mit dem Satz von Vieta

a0 = - E1 E2 E3 = - det  ( A )  = 0   ( 2b )

und zwar ( 2b ) , weil ja die erste Zeile von A  verschwindet .

Ich entscheide mich jetzt für Matrixelement Nr. ( 2 ; 2 ) weil dann A ( 2 ; 2 ) = 0

( An die Community, die Administratoren und den Support. An dieser Stelle trat wie schon bei anderen Anlässen ein schwerer Bug auf; er hat Binärcode rein kopiert - erst verdeckt, dann sichtbar und behauptet, 8 000 Zeichen seien überschritten. )

18 - 6 a2  = 0  ===> a2 = 3    ( 3a )

Ist ( 3a ) plausibel? Ja; wieder Vieta

a2 = - ( E1 + E2 + E3 ) = - Sp ( A )    ( 3b )

Analog findet man für Matrixelement   ( 2 ; 1 )

a1 = 6    ( 3c )

x ³ + 3 x ² + 6 x = 0    ( 4a )

       x0 = 0   ( 4b )

       x ² + 3 x + 6 = 0   ( 4c )

   
     Vieta

  
     p = 2 Re ( z0 ) =  ( - 3 ) ===> Re ( z0 ) = ( - 3/2  )  ( 5a )

     q = | z0 | ²  =  6 ===> | z0 | = sqr ( 6 )   ( 5b )


    mod 3 reduziert sich ( 4a ) zu  x ³ = 0 . Dies ist aber gleichzeitig auch das Minimalpolynom von A , wie man sich unschwer an Hand von ( 1bc ) überzeugt. Über F17 wage ich keine Prognose, da ich mal was gelesen hab, dass hier möglicher Weise quadratische Reziprozität ins Spiel kommt, ein Fachgebiet, von dem ich nichts verstehe. Wäre doch mal lieb, wenn jemand auch mal mich aufklären würde - egal wie das Spielchen nun ausgeht.

Comments

Die Frage war vom 6. Februar, kurz vor meiner Klausur. Leider durchgefallen. Trotzdem einen herzlichen Dank für die Mühe. Jetzt im 2. Anlauf sollte es auch mit dem Bestehen klappen :)