Exponentielle und lineare Abnahme der Alkoholkonzentration im Blut berechnen

Question

Hallo ich soll bis Montag in der Schule die Nr.8 vorbereiten, aber ich habe keine Ahnung wie man bei der Aufgabe vorgehen muss, denn wir haben das Thema erst seit gestern.

Vielleicht kann mir jemand helfen. 

8. Alkoholgehalt

Ein Autofahrer fährt in den Graben. Er entfernt sich von der Unfallstelle. Fünf Stunden später wird eine Blutprobe genommen. Der Alkoholgehalt beträgt \( 0,7 \) Promille. Eine weitere Stunde später ist er auf \( 0,6 \) Promille gefallen. Wie viele Promille hatte der Mann zur Unfallzeit, wenn man exponentielle Abnahme unterstellt? Wie viele Promille wären es bei linearer Abnahme?

 

Comments

Vielleicht kommt dir die Inspiration bei einer der vorhandenen Fragen:

https://www.mathelounge.de/suche?q=alkohol+blut

?

Answer 1

Hi,
wenn Du eine exponentielle Abnahme unterstellst, kann der Alkoholgehalt durch die Funktion
$$ f(x) = A e^{\lambda x }  $$ beschrieben werden. Hier hast Du zwei Unbekannte, A = Anfangskonzentration und \( \lambda \) die Abklingkonstante. Da Du zu zwei Zeitpunkten den Blutalkohol kennst, kannst Du folgende Gleichungen aufstellen und die Konstanten bestimmen.
$$ (1) \quad f(0) = A = 0.7  $$
$$ (2) \quad f(1) = A \cdot e^{\lambda} = 0.6 $$
Daraus ergibt sich \( A = 0.7 \) uund \( \lambda = ln(\frac{0.6}{0.7}) \)
Damit kann man nun auch zurückrechnen und den Alkohlgehalt im Blut von vor 5 Stunden bestimmen, es ergibt sich \( f(-5) = 1.513 \) Promille.

Bei linearer Abnahme ist die Ausgangsgleichung die Geradengleichung \( f(x) = mx+b \) und es ergibt sich \( b = 0.7 \) und \( m = -0.1 \) Mit diesen Werten ergibt sich ein Blutalkohol von \( f(x) = 1.2 \) Promille beim Unfall.

Grafisch sieht das so aus.

Answer 2

Gegeben

f(5) = 0.7

f(6) = 0.6

Exponentielle Abnahme angenommen.

f(5) = 0.7 = a*q^5        |*q        (I)

f(6) = 0.6 = a*q^6                (II)

==> 0.7 * q = 0.6

==> q = 0.6/0.7 = 6/7  in (I)

0.7 = a*(6/7)^5

0.7 / (6/7)^5 = a

Also ca. 1.51 Promille war der Anfangswert a.

f(5) = 0.7

f(6) = 0.6

Lineare Abnahme angenommen.

f(5) = 0.7 = 5m + q        |  +m     (I)

f(6) = 0.6 = 6m+q                (II)

==> m = -0.1      in (I)

0.7 = -0.1*5 + q

1.2 = q

Also ca. 1.2 Promille Anfangswert.

Comments

Die lineare Abnahme hab ich jetzt verstanden, aber bei der exponentiellen Abnahme versteh ich die Zwischenschritte nicht.

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Welchen Schritt genau verstehst du nicht?

Vielleicht sind auch die andern Antworten ausführlicher.

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da ist noch ein Fehler drin, es muss heissen

$$ f(5) = 0.7 = 5m + q $$
$$ f(6) = 0.6 = 6m + q $$
dann kommt auch \( q = 1.2 \) raus.

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Super. Ist korrigiert.

Answer 3

( 5  | 0.7 )
( 6  | 0.6 )

linear ( Geradengleichung )
y = m * x + b
m = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 ) = ( 0.6 - 0.7 ) / ( 6 -5 )
m = -0.1
0.7 = -0.1 * 5 + b
b = 1.2

y = -0.1 * x + 1.2

exponentiell
a ( x ) = a0 * f^x

a ( 6 ) = a0 * f^6 = 0.6
a ( 5 ) = a0 * f^5 = 0.7

a0 * f^6 = 0.6  |
a0 * f^5 = 0.7  | dividieren
------------------
( a0 * f^6 ) / ( a0 * f^5 ) = 0.6 / 0.7
f^6 / f^5 = 0.8571

f = 0.8571

a0 * f^6 = 0.6
a0 * 0.8571^6 = 0.6 
a0 * 0.3966 = 0.6
a0 = 1.51

a ( x ) = 1.51 * 0.8571^x