Die Definition von Folgengrenzwerten (mit dem Epsilon) sagt aus, dass (im Falle der Konvergenz) für jedes \(\varepsilon > 0\) ab einem gewissen Folgeglied alle Glieder der Folge um höchstens \(\varepsilon\) vom Grenzwert abweichen, d.h. \(|a_n - \ell| < \varepsilon \). Beim Beweis mit dem Epsilonkriterium muss man konkret angeben, ab welchem Folgeglied man in dieser Epsilon-Umgebung bleibt für gegebenes Epsilon. Dafür muss man ein \(N\) finden (welches natürlich von Epsilon abhängt), sodass für alle \(n>N\) (alle Folgeglieder die nach \( a_N\) kommen) folgendes gilt: \(|a_n - \ell | < \varepsilon \)
Wie findet man so etwas? Naja wir fangen wie folgt an: Sei \( \varepsilon > 0\). Wir nehmen einfach irgendein Epsilon und suchen jetzt wie gesagt das entsprechende \(N\). Dazu müssen wir unseren gegebenen Term, in diesem Fall \( | \frac{3n-2}{n+2} - 3 | \), abschätzen. Wir wollen ihn derart abschätzen, dass wir ein monoton fallendes Produkt haben. Warum wollen wir gerade das? Damit wir die Voraussetzung \(n> N\) nutzen können, um den Term nach oben zu beschränken (monoton fallend heißt, dass der Term für alle n>N kleiner ist als für N). Dann können wir \(N\) gerade so wählen, dass Epsilon rauskommt. In deinem Beispiel sieht das so aus:
$$ \left| \frac{3n-2}{n+2} - 3 \right| = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3(n+2)}{n+2} \right| = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3n+6}{n+2} \right| = \left| \frac{-8}{n+2} \right| \underset{Betrag}{=} \frac{8}{n+2} \underset{\text{Nenner kleiner machen}}{<} \frac{8}{n} \underset{n>N}{<} \frac{8}{N} \underset{\text{Wähle }N=8\varepsilon^{-1}}{=} \varepsilon.$$
Und das wars auch schon.
