Die Definition von Folgengrenzwerten (mit dem Epsilon) sagt aus, dass (im Falle der Konvergenz) für jedes ε>0 ab einem gewissen Folgeglied alle Glieder der Folge um höchstens ε vom Grenzwert abweichen, d.h. ∣an−ℓ∣<ε. Beim Beweis mit dem Epsilonkriterium muss man konkret angeben, ab welchem Folgeglied man in dieser Epsilon-Umgebung bleibt für gegebenes Epsilon. Dafür muss man ein N finden (welches natürlich von Epsilon abhängt), sodass für alle n>N (alle Folgeglieder die nach aN kommen) folgendes gilt: ∣an−ℓ∣<ε
Wie findet man so etwas? Naja wir fangen wie folgt an: Sei ε>0. Wir nehmen einfach irgendein Epsilon und suchen jetzt wie gesagt das entsprechende N. Dazu müssen wir unseren gegebenen Term, in diesem Fall ∣n+23n−2−3∣, abschätzen. Wir wollen ihn derart abschätzen, dass wir ein monoton fallendes Produkt haben. Warum wollen wir gerade das? Damit wir die Voraussetzung n>N nutzen können, um den Term nach oben zu beschränken (monoton fallend heißt, dass der Term für alle n>N kleiner ist als für N). Dann können wir N gerade so wählen, dass Epsilon rauskommt. In deinem Beispiel sieht das so aus:
∣∣∣∣∣n+23n−2−3∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n+23n−2−n+23(n+2)∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n+23n−2−n+23n+6∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣n+2−8∣∣∣∣∣Betrag=n+28Nenner kleiner machen<n8n>N<N8Wa¨hle N=8ε−1=ε.
Und das wars auch schon.