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Ich habe zwar den Grenzwert berechnet, aber ich weiß nicht wie ich das mit dem Epsilon Delta Kriterium beweisen kann?

limn3n2n+2=limnn(32n)n(1+2n)=limn32n1+2n=3 \lim_{n\to\infty}\frac { 3n-2 }{ n+2 }=\lim_{n\to\infty}\frac { n(3-\frac { 2 }{ n } )}{ n(1+\frac { 2 }{ n } )}=\lim_{n\to\infty}\frac { 3-\frac { 2 }{ n } }{ 1+\frac { 2 }{ n } }=3

Ich frage dies nur aus Interesse :)

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Die Definition von Folgengrenzwerten (mit dem Epsilon) sagt aus, dass (im Falle der Konvergenz) für jedes ε>0\varepsilon > 0 ab einem gewissen Folgeglied alle Glieder der Folge um höchstens ε\varepsilon vom Grenzwert abweichen, d.h. an<ε|a_n - \ell| < \varepsilon . Beim Beweis mit dem Epsilonkriterium muss man konkret angeben, ab welchem Folgeglied man in dieser Epsilon-Umgebung bleibt für gegebenes Epsilon. Dafür muss man ein NN finden (welches natürlich von Epsilon abhängt), sodass für alle n>Nn>N (alle Folgeglieder die nach aN a_N kommen) folgendes gilt: an<ε|a_n - \ell | < \varepsilon

Wie findet man so etwas? Naja wir fangen wie folgt an: Sei ε>0 \varepsilon > 0. Wir nehmen einfach irgendein Epsilon und suchen jetzt wie gesagt das entsprechende NN. Dazu müssen wir unseren gegebenen Term, in diesem Fall 3n2n+23 | \frac{3n-2}{n+2} - 3 | , abschätzen. Wir wollen ihn derart abschätzen, dass wir ein monoton fallendes Produkt haben. Warum wollen wir gerade das? Damit wir die Voraussetzung n>Nn> N nutzen können, um den Term nach oben zu beschränken (monoton fallend heißt, dass der Term für alle n>N kleiner ist als für N). Dann können wir NN gerade so wählen, dass Epsilon rauskommt. In deinem Beispiel sieht das so aus:

3n2n+23=3n2n+23(n+2)n+2=3n2n+23n+6n+2=8n+2=Betrag8n+2<Nenner kleiner machen8n<n>N8N=Wa¨hle N=8ε1ε. \left| \frac{3n-2}{n+2} - 3 \right| = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3(n+2)}{n+2} \right| = \left| \frac{3n-2}{n+2} - \frac{3n+6}{n+2} \right| = \left| \frac{-8}{n+2} \right| \underset{Betrag}{=} \frac{8}{n+2} \underset{\text{Nenner kleiner machen}}{<} \frac{8}{n} \underset{n>N}{<} \frac{8}{N} \underset{\text{Wähle }N=8\varepsilon^{-1}}{=} \varepsilon.


Und das wars auch schon.

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Ich habe auch mal ein Interessensfrage:


Nach dem Betrag komme ich bei meiner Aufgabe auf den Bruch


(5n2+3n+3)/(3n3+9n+6)

Könnte man den Bruch jetzt so dahingehend kleinern, dass man

(5n2+3n+3)/(3n3+9n+6) < 1/(3n) schreiben kann?

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In meiner Rechnung solltest du immer no denken, statt n und Epsilon statt E.

Sei E> 0 gegeben.

|(3n-2)/(n+2) - 3| < E, 


|((3n-2)-3(n+2))/(n+2) | < E,
|(3n-2-3n-6))/(n+2) | < E,
|(-8)/(n+2)| < E, da n gross und pos.
8/(n+2) < E
8/E < n+2
8/E  - 2 < n
n=no kann nun als gerundete Zahl 8/E - 2 festgelegt werden.
==> Für jedes N >no
gilt | a_(N) - 3| < E
Daher ist 3 der Grenzwert von (a_(n))_(n Element N).
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Vermutlich meinst du das Epsilon-Kriterium.
Sei ϵ>0\epsilon>0 vorgegeben. Wähle NNN\in\mathbb N so groß, dass N>8ϵ2N>\frac8\epsilon-2 ist.
Dann gilt für alle n>Nn>N3n2n+23=8n+2<88ϵ2+2=ϵ.\left\vert\frac{3n-2}{n+2}-3\right\vert=\frac8{n+2}<\frac8{\frac8\epsilon-2+2}=\epsilon.

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Mich interessiert das ebenso, könntest du das noch schrittweise ausführen, also auch für die, die das ε-Kriterium gerade erst kennenlernen?

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