exponentiale Funktionsscharen. Wie löse ich die Ableitungen?

Question

ich muss schon wieder fragen, weil der gewünsche Aha-Effekt zur Zeit ausbleibt :(

Bei der Funktion tx * e^{-t * x^2} soll abgeleitet werden. Mir ist klar, dass ich hier die Produktregel brauche.

u= tx  und u '= t

v= e^-tx und v '= -2txe^-tx²

Folglich ergibt sich daraus: t * e^-tx + (-2txe^-tx ) * tx. Ich vermute soweit ist es noch richtig.

Nur ab dann komm ich nicht weiter. Klammer ich aus, habe ich: e^-tx² ( -2tx+t+tx).

All in all ziemlich verwirrend und ich habe keine Ahnung wie ich hiervon weiter zur zweiten Ableitung komme geschweige denn zur dritten.

LG

Edit: ich kann das ausgeklammerte zusammenfassen :) Also wäre das dann e^{-tx^2} (tx+t) ...sieht irgendwie besser aus bzw. richtiger aus, oder?

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Da ich wohl nicht erneut bearbeiten kann 2.Edit:

Wenn ich mit oben aufgeschriebener Funktion weiter rechne erhalte ich für die zweite Ableitung e^{-tx^2} (tx+2t)

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Hab ich die Aufgabe so falsch versucht zu lösen?

Answer 1

Die Produktregel hast Du richtig angewendet, aber bei den e-Funktionen bleibt das x² im Exponenten erhalten, also :

$$ f'(x)=te^{-tx^2}+tx\cdot (-2txe^{-tx^2}) $$

jetzt hast Du im rechten Summanden irgendwas falsch gemacht, denn nach ausmultiplizieren der Klammer wird:

$$ f'(x)=te^{-tx^2}-2t^2x^2e^{-tx^2} $$

jetzt faktorisieren wir das e... :

$$ f'(x)=(t-2t^2x^2)e^{-tx^2} $$

und ein t kann auch noch raus:

$$ f'(x)=(1-2tx^2)te^{-tx^2} $$

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Stimmt oben hab ich ein mal das Quadrat vergessen..weiter unten habe ich es dann wieder mit aufgeführt. Danke für den Hinweis. Mein Fehler lag im ausklammern -.-