Stetigkeit: f(x)= (x-2)^2 Definitionsbereich: IR≥0 mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums prüfen.

Question

Hier die Aufgabe:

Überprüfen Sie die Funktion auf Stetigkeit mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums:

f(x) = (x-2)² Definitionsbereich: IR^>=0

Mein Ansatz:

If(x)-f(x₀)I

=I(x-2)²-(x₀-2)²I

=I(x²-4x+4)-(x₀²-4x₀+4)I

=Ix²-x₀²-4x+4x₀I

=I(x-x₀)(x+x₀)-4x+4x₀I

=I(x-x₀)(x+x₀)-4(x-x₀)I

< Delta*(x+x₀)-4*Delta

=Delta*(Delta+2x₀)-4*Delta

Jetzt habe ich aber immer noch 2x₀ in meiner kleiner Delta Abschätzung stehen. Wie bekomme ich die weg?

Oder ist der komplette Lösungsweg falsch?

Brauche Hilfe!!!

Schonmal !

Comments

Das Delta darf zum Schluss schon von xo abhängen, xo ist ja eine gegebene reelle Zahl (und somit endlich)

Ich würde die Betragsstriche nicht weglassen.

| Delta*(Delta+2x₀)-4*Delta| < Epsilon. 

Nun das irgendwie schlau nach Delta auflösen. Es ist ja eigentlich eine quadratische Gleichung.

Zwei Fälle: 

Delta*(Delta+2x₀)-4*Delta < Epsilon

und 

-(Delta*(Delta+2x₀)-4*Delta)< Epsilon ansehen.

Ob die Rechnung so kompliziert werden muss, wäre dann noch eine andere Frage.

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Schonmal Danke, das hier überhaupt mal jemand Antwortet ;)Ja mittlerweile habe ich dies auch einfach mal probiert und es genauso gemach wie du sagst. Allerdings ist die Rechnung dabei letztendlich sehr lang und kompliziert um es nach Delta Umzustellen!
Hast du oder sonst wer denn eine Idee, wie man dies einfacher hinbekommt?

Answer 1

Bis hierher finde ich es ganz gut.
=I(x-x₀)(x+x₀)-4(x-x₀)I

=I(x-x₀)| * | (x+x₀)-4I   jetzt Dreiecksungl.

<= I(x-x₀)| *( | (x+x₀) | +4  )


Und du musst doch jetzt zeigen, dass dieses < epsilon bleibt, wenn
I(x-x₀)| < delta ist.

Dazu kannst du doch z.B. annehmen   delta sei kleiner als 1 ist,

dann ist | (x+x₀) | < 2|x₀ | + 1
und I(x-x₀)| *( | (x+x₀) | +4  ) < delta * ( 2|x₀ | + 1 )

             also  wähle   delta =   epsilon /   ( 2|x₀ | + 1 ) 
 und falls dieses nicht kleiner als 1 ist, wähle eben delta = 1

dann gilt jedenfalls

If(x)-f(x₀)I   <=   I(x-x₀)| *( | (x+x₀) | +4  )
                    <    delta * ( | (x+x₀) | +4  )
                    =  epsilon  

Vielleicht ist das was einfacher und benutzt intensiver Abschätzungen.