Gebrochenrationale Funktion: f(x)= (x^3+5x^2+4x)/(x^3+8x^2+20x+16), g(x)=…

Question

f(x)= xhoch3+5xhoch2+4x/xhoch3+8xhoch2+20x+16
f(x)=xhoch3+7xhoch2+16x+12/xhoch5+8xhoch4+4xhoch3+18xhoch2

Also:

f(x)= (x³+5x²+4x)/(x³+8x²+20x+16)
g(x)=(x³+7x²+16x+12)/(x⁵+8x⁴+4x³+18x²)

bestimme:

definitions bereich

art der definitionslucke

nullstelle

verhalten am pol

y-achsenabschnitt

Comments

Ui Oo

schau mal ob meine Interpretation passt:

 

f(x)= (x^3+5x^2+4x)/(x^3+8x^2+20x+16)

 

g(x)=(x^3+7x^2+16x+12)/(x^5+8x^4+4x^3+18x^2)

 

So? ;)

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Bei der  ersten gleichung kommt da im nenner 20x, und in der zweiten gleichung im nenner am ende neben der 4xhoch3 die +18xhoch2

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Schreibfehler meinerseits beim ersten Teil. 20x (verbessert)

 

Was ist beim zweiten Nenner falsch? Die 18x² sind doch schon dran? ;)

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Aso ok! Ich weiß es jetzt wie es geht danke

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Beim zweiten Nenner ist noch was falsch?

Die Nullstellenbestimmung ist hier vergleichsweise schwierig ;).

Answer 1

Hi,

 

Definitionsbereich bestimmt man durch 0 setzen des Nenners:

x³+8x²+20x+16=0

Polynomdivision mit x=-4: (x+4)

Man erhält dadurch den Ausdruck: (x^2+4x+4)

Also:

(x+4)(x^2+4x+4)=0

(x+4)(x+2)^2=0

Nullstellen des Nenners: x=-4 und x=-2

Definitionsbereich D=R\{-4,-2}

 

Art der Definitionslücke:

Bestimmen der Nullstellen im Zähler:

x³+5x²+4x=0

x(x^2+5x+4)=0   |pq-Formel

x(x+1)(x+4)=0

Die Nullstellen sind also x₁=0, x₂=-1 und (x₃=-4).

Die Nullstelle x₃ ist nicht im Defintionsbereich. -> hebbare Definitionslücke

Die Nennernullstelle x=-2 ist eine doppelte Nullstelle, also ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.

 

Verhalten am Pol:

Zu untersuchen ist x₂=-2

Wie wir schon festgestellt haben ist das ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.

Übliches Vorgehen wäre zum Beispiel mit der h-Methode. Oder (weniger mathematisch) einen Wert sehr nahe an -2 zu wählen, einzusetzen und zu sehen was passiert.

Verhalten am Pol mittels der genannten Methoden: strebt nach +∞.

 

y-Achsenabschnitt

Da N(0|0) eine Nullstelle ist, ist der y-Achsenabschnitt ebenfalls 0.

 

Alles klar? Für den zweiten Teil genauso vorgehen ;).

 

Grüße

 

 

Comments

Konnten sie bei der 2.uafgabe das im nenner rechnen

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Ist der Nenner richtig?

Ich glaube es fast nicht, denn man kann nur die Lösung x=0 ablesen.

Für die zweite Lösung braucht es ein Näherungsverfahren wie Newton.

Ich käme da auf etwa x=-7,78

 

Schau nochmals nach:

g(x)=(x³+7x²+16x+12)/(x⁵+8x⁴+4x³+18x²)

Das passt so? Vorzeichen stimmen alle? ;)

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Ja das stimmt! Ich hab erst xhoch 2 ausgeklammert damit ich polynomdivision machen kann!!

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x² ausklammern ist der erste richtige Schritt.

Gefolgt von normalerweise der Polynomdivision. Diese ist hier aber nicht möglich, da die dritte Nullstelle so krumm ist (siehe oben). Es bleibt Dir nur der Newton oder ein anderes Näherungsverfahren...

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Das bringt mir nicht weiter

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Ich glaube weiterhin, dass die Aufgabe falsch abgeschrieben ist.

Das Newtonverfahren ist normalerweise ein Themengebiet für sich und hat im Thema "gebrochenrationale Funktionen" nichts zu suchen.

 

Es gibt wie gesagt die beiden reellen Nullstellen x₁=0 und x₂=-7,78.

Oder willst Du x₂ genauers bestimmen? ;)

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Die aufgabe ist richtug die anderen haben das auch so aber vielleicht ist die aufgabe falsch

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Also ich bin da etwas hartnäckig, ich glaube, dass bei der Aufgabe etwas falsch ist. Die Aufgabe würde relativ große Dimensionen annehmen, würde man mit diesem Nenner arbeiten.

Ich kann ja mal eine grobe Skizze liefern:

Definitionsbereich -> Nennernullstellen:

D=R\{0;-7,78}

Art der Lücke: Zählernullstellen untersuchen und vergleichen:

x₁=-3 und x₂=-2

Sind also alles einfache Definitionslücken (keine hebbaren)

 

Nullstellen: Siehe "Art der Lücke"

 

Verhalten am Pol mittels h-Methode oder "Zahl einsetzen":

Bei x=-7,78:

einfache Nennernullstelle: Vorzeichenwechsel.

Für x von linkskommend: strebt nach +∞

Für x von rechtskommend: strebt nach -∞

 

Bei x=0

doppelte Nennernullstelle: kein Vorzeichenwechsel

strebt nach +∞

 

y-Achsenabschnitt exisitiert nicht -> Defintionslücke/Pol