Hab ich die Ableitung von f(x) = e^{x³-12} · 3x^2 - 12 richtig berechnet?

Question

Ich möchte wissen, ob ich die Ableitung richtig berechnet habe. Kann das jemand einmal kontrollieren?

\( \begin{aligned} f(x) &=e^{x^{3}-12} \cdot 3 x^{2}-12 \\ f^{\prime}(x) &=\left(e^{x^{3}-12} \cdot 3 x^{2}-12\right) \cdot 3 x^{2}-12+6 x \cdot e^{x^{3}-12} \\ &=e^{x^{3}-12}\left(9 x^{4}-36-36 x^{2}+144+6 x\right) \\ &=e^{x^{3}-12}\left(9 x^{4}-36 x^{2}+6 x+108\right) \end{aligned} \)

Answer 1

leider nicht. Richtig geht es folgendermaßen:

f(x) = e^x³-12 * 3x² - 12

Produktregel (uv)' = u'v + uv'

u = e^x³-12 | u' = 3x² * e^x³-12 {innere Ableitung * äußere Ableitung}

v = 3x² | v' = 6x

Damit

f'(x) = 3x² * e^x³-12 * 3x² + e^x³-12 * 6x =

e^x³-12 * (9x⁴ + 6x)

Besten Gruß

Comments

Warum heisst es bei der Ableitung,  u' = 3x² * e^x³-12

und nicht u' =  e^x³-12

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Deswegen:

u = e^x³-12 | u' = 3x² * e^x³-12 {innere Ableitung * äußere Ableitung}

Man muss die äußere Ableitung von e^x³-12 bilden, und diese ist, wie Du richtig schreibst, ebenfalls

e^x³-12.

Aber man muss diese noch mit der inneren Ableitung multiplizieren, also mit der Ableitung von

x³ - 12, und diese ist bekanntlich 3x².

Das ist es, was die Kettenregel besagt: Äußere Ableitung * Innere Ableitung oder gleichbedeutend:

Innere Ableitung * Äußere Ableitung.

Answer 2

weil -12 nichts mit x zu tun hat, wird diese als eine Konstante angesehen, die keine Variable ist. Deshalb fällt die -12 komplett weg und muss nicht betrachtet werden.