Wenn linksneutrales und rechtsneutrales Element existent, dann el = er

Question

Es sei A eine Menge und o eine binäre Verknüpfung auf A. Zeigen Sie: Wenn es ein linksneutrales Element e_l und ein rechtsneutrales Element e_r gibt, dann gilt: e_l = e_r. Ausserdem gibt es dann keine anderen links- bzw. rechtsneutralen Elemente.

Leider weiss ich nicht, wie ich an diese Aufgabe ran soll.

Answer 1

Hi,
sei \( e_L \) einlinksneutrales und \( e_R \) ein rechtsneutrales Element, dann gilt \( e_L \circ x = x \) und \( x \circ e_R = x  \) für alle \( x \in A \)
Es folgt \( e_L = e_L \circ e_R = e_R \) weil \( e_R \) rechtsneutral ist und \( e_L \) linksneutral ist. Also sind links- und rechtsneutrale Elemente gleich.

Sei \( e_{L'} \) ein weiteres linksneutrales Element, dann gilt \( e_L = e_L \circ e_R = e_R = e_{L'} \circ e_R = e_{L'}  \) also ist das linksneutrale Element eindeutig. Genauso argumentiert man für die Eindeutigkeit des rechtneutralen Elements.

Comments

danke für Deine Antwort.

Leider verstehe ich die Begründung noch nicht. Wie kommst Du bitte auf das Argument im zweiten Satz?

Machst Du das hier?

el o a = a o er (da beides a ergibt, gleichsetzen) Aber wie gehts dann weiter?

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Hi,
zum ersten Teil der Aussage:
Betrachte \( e_L \circ e_R \) Weil \( e_L \) linksneutral ist, folgt \( e_L \circ e_R = e_R \) und weil \( e_R \) rechtsneutral ist folgtg \( e_L \circ e_R = e_L \) also insgesamt \( e_L = e_R \)

Zum zweiten Teil
Die erste Gleichheit gilt wegen \( e_R \) rechtsneutral. Die zweite wegen \( e_L \) linksneutral, die dritte wegen \( e_{L'} \) linksneutral und die vierte wegen \( e_R \) rechtsneutral.

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kurze Rekapitulation, um zu validieren, dass ich es verstanden habe:

Als Begründung machst Du Dir die Definition von links- und rechtsneutralen Elementen zunutze, indem Du für x aber jeweils das andere neutrale Element einsetzt, was ja völlig legitim ist. Daraus folgt, dass links- und rechtsneutrales Element gleich sind.

Nun kreierst Du ein weiteres linksneutrales Element. Die ersten zwei Gleichheitszeichen beziehen sich auf den bereits gezeigten Zusammenhang. Das nächste, dritte Gleichheitszeichen zeigt nun auf, dass sich das weitere linksneutrale Element genau gleich verhält, wie das erste linksneutrale Element, nämlich: Es belässt das rechtsneutrale Element. Und das vierte Gleichheitszeichen zeigt noch das Gegenteil.

Ist das bitte so weit richtig?

Wäre das hier bitte eine richtige Argumentation für die Eindeutigkeit des rechtsneutralen Elements?

$$e_{r'}=e_l\circ e_{r'}=e_l=e_l \circ e_r = e_r $$Ich musste das bereits gezeigte Verhalten nun aber an das Ende schieben.

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Ich denke, dass ist jetzt so i.O.