Zu 1) Merkst du, dass das Minimum gleichzeitig eine Nullstelle ist? Ein Extremum ist immer eine Nullstelle von gerader Ordnung.
Nun hast du ein Polynom 4. Grades; x = 1 könnte demnach so wohl vom 2. als auch vom 4. Grade sein. Nur ist da diese Symmetrie; wäre es der 4. Grad, hättest du bei x = ( - 1 ) nochmal eine Nullstelle 4. Grades, und zusammen ergibt das den 8. Grad. Also offenbar
f ( x ) := k ( x + 1 ) ² ( x - 1 ) ² = ( 1a )
= k ( x ² - 1 ) ² = ( 1b )
= k ( x ^ 4 - 2 x ² + 1 ) ( 1c )
Zu Aufg. 2) Gemeint hier offenbar Punktsymmetrie; denn ungerade Polynome können nur Punktsymmetrie aufweisen.
Ich greife immer ganz tief in die Trickkiste; alle kubischen Polynome singen im Grunde immer wieder die selbe Melodie. Für Spickzettel, Formelsammlung und Regelheft.
Jedes kubische Polynom verläuft Punkt symmetrisch gegen seinen WP. D.h. symmetrisch sind sie alle; nur hier wird ganz speziell gesagt, Symmetrie gegen den Ursprung.
Jetzt heißt es auf Zack sein; wenn ich doch her gehe und x ( max ) = 1 am Ursprung SPIEGELE , dann lande ich bei x ( min ) = ( - 1 ) Hier genau musst du klüger sein als die Vorgehensweise im Unterricht.
Denn - schwupp - haben wir schon beide Nullstellen der ersten Ableitung beisammen:
f ' ( x ) = k ( x + 1 ) ( x - 1 ) = ( 2a )
= k ( x ² - 1 ) ( 2b )
Was du hier tun musst, bezeichnen die Kollegen von " Lycos " als " aufleiten " ===> Stammfunktion ===> Integral .
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - x ) + C ( 3a )
wobei die ===> Integrationskonstante C sogar verschwindet - sonst würde der Graf ja nicht durch den Ursprung verlaufen. Jetzt H einsetzen
k ( 1/3 - 1 ) = - 2/3 k = 1 ===> k = ( - 3/2 ) ( 3b )
f ( x ) = - 1/2 x ³ + 3/2 x ( 3b )
Und jetzt gibt es noch eine Alternative für die ganz Vorwitzigen. Symmetriezentrum, hatten wir gesagt, ist immer der WP . Und wenn ich den auf die Abszisse verschiebe, dass also gleichzeitig WP = Nullstelle des Polynoms, dann wollen wir von einer natürlichen Darstellung ( ND ) des Polynoms sprechen.
Die Extrema fallen ja immer spiegel symmetrisch; das hatten wir oben gesehen. Aber ND ist eben dadurch ausgezeichnet, dass auch die beiden Knoten symmetrisch fallen ( warum? )
Denn Nullstellen haben wir; das muss dir klar sein. Wenn sich die Kurve, vom Ursprung kommend, in ihr Maximum erhebt, muss sie irgendwann ja uch wieder runter kommen und die Abszisse überqueren.
Jetzt gibt es aber etwas, das muss man wissen. In ND gilt ein festes Wurzel(3)-Verhältnis. Für Knoten x3 gilt
x3 - x ( w ) = [ x ( max ) - x ( w ) ] sqr ( 3 ) ( 4 )
D.h. diese gesuchte Nullstelle ist sqr ( 3 ) mal so weit vom Ursprung entfernt wie das Maximum. Wir haben demnach direkt die Zerlegung in Linearfaktoren
f ( x ) = k x ( x + 3 ^ 1/2 ) ( x - 3 ^ 1/2 ) = ( 5a )
= k x ³ - 3 k x ( 5b )
Wieder H einsetzen; naa stimmt's?
Nennen wir es die Methode " vom hören Sagen " ; direkt haben wir die Maximumbedingung mit keinem Worte erwähnt. Wir haben uns aus dem Maximum lediglich einen Hilfspunkt geschnitzt.
Aufg 3) geht genau so, wobei ich dafür plädieren würde: Du tust dich leichter, wenn du über die Aufleitung gehst; das Rumrechnen mit dem Wurzel ( 3 ) bringt ist mit zu viel Nebenrechnungen verbunden.
x ( w ) = 2 ; x ( min ) = 3 ===> x ( max ) = 1 ( 6a )
f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 ) = ( 6b )
= k ( x ² - 4 x + 3 ) ( 6c )
f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C ( 7a )
Schau doch mal; der Sinn und Zweck hinter diesen ganzen Ganoventricks ist doch, dass ich nie über zwei Unbekannte hinaus komme. Das Vorwissen, das bei mir in die Gleichung fließt, ist enorm.
Mit dem Punkt P ergibt sich auch unmittelbar C = 2 Jetzt noch W
k ( 8/3 - 8 + 6 ) + 2 = 0 | : 2 ( 7b )
k ( 4/3 - 4 + 3 ) + 1 = 0 ===> k = ( - 3 ) ( 7c )
f ( x ) = - x ³ + 6 x ² - 9 x + 2 ( 8 )
Die Antwort ist trotzdem " nein " Und das begreifst du sofort, wenn du wieder den Spiegel im Kopf behältst. in ( 6ab ) haben wir beide Extrema angegeben; okay? Okay. Aber k , der ===> Leitkoeffizient ( LK ) kam ja negativ heraus in ( 7c ) Was bedeutet negativ? Von Rechts kommt die Kurve asymptotisch von MINUS Unendlich und erreicht als ERSTES ihr MAXIMUM ( und nicht ihr Minimum ) bei x = 3 Denn x= 3 war ja der " rechtere " Wert von beiden Extrema.
