Integral Rotationskörper. g(x) = k√(x+2) rotiert um die x-Achse.

Question

Aufgabe:

Der Hohlraum einer Schale entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion g mit \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{k} \sqrt{\mathrm{x}+2} \) um die \( \mathrm{x} \)-Achse zwischen \( \mathrm{x}=0 \) und \( \mathrm{x}=14 \).

Wählen Sie \( \mathrm{k} \) so, dass der obere Rand der Schale den Radius \( r=12 \) hat (Angaben in \( \mathrm{cm} \) ).

Wie viele Liter fasst die Schale? (Zwischenlösung: \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=3 \sqrt{\mathrm{x}+2}) \)

Hinweis: Geben Sie die Rechenschritte zur Berechnung des Integrals an!

Ansatz/Problem:

Wie ich auf die Zwischenlösung komme ist mir bekannt

Laut der V Formel muss ich die Funktion hoch 2 rechen

Somit wären das 9.(x+2)

Integral 0 bis 14

Wäre dann 9.(14+2)= 144

Integral 0 9.(0+2) =18

144-18=126.phi=395,84

Komme da aber auf 3,95L

Lösung sollten 3,56 L sein.

Answer 1

f(14) = k·√(14 + 2) = 12 --> k = 3

f(x) = 3·√(x + 2)

∫ (0 bis 14) pi·(3·√(x + 2))^2 dx = 1134·pi = 3563 cm³

Answer 2

Funktion
g ( x ) = 3 * √ ( x + 2 )

Fläche
A ( x ) = π * ( 3 * √ ( x + 2 ) )^2
A ( x ) = π * 9 * ( x + 2 )
A ( x ) = π * ( 9  x + 18 )

Stammfunktion
∫ π * ( 9  x + 18 ) dx
π * ( 9  x^2 / 2  + 18 x )
π * ( 4.5  x^2  + 18 x )

Volumen
V =  π * [ 4.5  x^2  + 18 x ]₀ ¹⁴
V = π * ( 4.5 * 14^2 + 18 * 14 )
V = π * ( 882 + 252 )
V = 3563 cm^3

mfg Georg