Grenzwert von (1+(1/(2n)))^n bestimmen, wobei n → ∞

Question

Folgende Gleichung ist gegeben und der Grenzwert soll bestimmt werden:

$$ \lim \limits_{x \to \infty} (1+\frac { 1 }{ 2n } )^{ n } $$

Ich weiß, dass $$ (1+\frac { 1 }{ n } )^{ n } = e $$ ist. Jedoch weiß ich nicht, wie ich dies in meine Gleichung einbringen kann.

Answer 1

Benutze eine andere Variable

e = lim_(m->∞) (1 + 1/m)^m

Nun sorge dafür, dass 1/m = 1/(2n).

----> n = m/2

Daher

(1 + 1/(2n))^n

= (1 + 1/m)^{m/2}

=((1 + 1/m)^m )^{1/2}

Grenzwert m--> unendlich

((1 + 1/m)^m )^{1/2} → e^{1/2} = √e

Comments

Oder aber auch einfach (vorausgesetzt man weiß, was \(e^x\) ist):

$$ \left( 1+\frac{1}{2n} \right) ^ n = \left(1 + \frac{\frac{1}{2}}{n} \right)^n $$

---

Danke Yakyu. Das geht nur, wenn man auch bereits

e^x = lim_m->∞ (1 + x/m)^m

kennt.

---

Hey Lu hatte es schon in meinen Kommentar geschrieben. Finde deine Antwort auch gut, deswegen nur als Anmerkung für den Fragesteller (und keine eigenständige Antwort) :)

---

Danke sehr den letzten Teil verstehe ich soweit.

Die Umstellung

1/m = 1/(2n).

----> n = m/2

leuchtet mir gerade noch nicht so ein...

Vielleicht so:

1/m = 1/(2n) |*2

(1/m) *2 = 1/n

2/m = 1/n | : 1/1

2/m = n ?

---

Vielleicht so:

1/m = 1/(2n) |*2 

(1/m) *2 = 1/n

2/m = 1/n | : 1/1

2/m = n ? Das hier ist Quatsch. 1/1 = 1.

2/m = 1/n       Rechne "mal Hauptnenner" nm.

---

Ah genau, war dann letztlich doch nicht so schwierig. Danke für die Hilfe !

---

Benutze eine andere Variable

e = lim_m->∞ (1 + 1/m)^m

^{das ist ja ein guter Trick, aber gibt es irgendwie eine Herangehensweise für solche Aufgaben ?}

^{Ich meine "normale" Grenzwert Aufgaben sind für mich eher weniger das Problem, bei solchen Exoten sieht es da schon etwas anders aus.} 

---

Schau Yakyu's Kommentar an und meine Antwort darauf. Sobald du e^x , wie angegeben, kennst, geht's etwas einfacher.

Zumindest den Anfang hattest du ja. Die Formel für e kannst du schon auswendig und du erkennst die Ähnlichkeit zu deiner Aufgabe. Mehr braucht's nicht. 

Die Umrechnung geht ja relativ schnell.

Wichtig ist einfach, dass du keine Fehler machst bei Brüchen.

---

es tut mir Leid den alten Thread noch einmal hervorzukramen. Warum darf man einfach n=m/2 setzen und daraufhin den Grenzwert berechnen, die Gleichheit (1 + 1/(2n))ⁿ = (1 + 1/m)^m/2 hängt ja an der Bedingung und ist Allgemeinen nicht gültig. Wieso darf man dann einfach den Grenzwert mit dieser neuen Variable berechnen und anschließend sagen, der Anfangsausdruck (1 + 1/(2n))ⁿ mit n konvergiert ebenfalls gegen den gleichen Grenzwert? Hängt es damit zusammen, dass m=2n und somit wenn m gegen unendlich strebt, n es m gleichtut oder denke ich viel zu kompliziert?

Ich hoffe, jemand versteht meine Gedanken und kann mir weiterhelfen.

Grüße

---

Versuche es alternativ mit niederer Algebra $$\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n}}$$ und Kenntnissen ueber Teilfogen.

---

Hallo Baumfäller,

n = m/2nennt man Substitution, das macht man oft so in der Mathematik.