Ableitung einer mehrfach verketteten Funktion

Question

Ich möchte folgende Funktion ableiten:

\( U\left(1-2 e^{-t / T}+e^{-2 t / T}\right) t \geq 0 \), mit positiven Konstanten \( U \) und \( T \).

Ich habe diese Funktion dann aufgedröselt und erhielt:

\( u(\frac { 2t{ e }^{ -\frac { 2t }{ x }  } }{ x^{ 2 } } -\frac { 2t{ e }^{ -\frac { t }{ x }  } }{ { x }^{ 2 } } ) \)

Für T habe ich x genommen, da ich lieber mit x als mit T arbeite...

Jetzt wollte ich wissen, habe ich das so richtig gemacht oder sind in der Ableitung Fehler?

Answer 1

Für T habe ich x genommen, da ich lieber mit x als mit T arbeite...

Was soll der Quatsch? Ausserdem alles falsch.

Ableitung von \( e^{ax} \) lautet \( a\cdot e^{ax} \)

Comments

Das ist mir bekannt, wir haben im Exponenten aber einen Bruch. Oder darf ich T vernachlässigen ?

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Ein Bruch ist auch ein Faktor

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Die Ableitung von:

e^{t/T} ist doch: (-t*e^{t/T})/T^2 oder nicht ?

Falls nein, wie sollte sie denn aussehen ?

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$$ -2 \, e^{- \frac tT} $$
$$ -2 \, e^{\frac {-1}T \cdot t} $$
die innere Funktion lautet also: $$ u(t=)\frac {-1}T \cdot t$$
Wie lautet davon die Ableitung?

Müsste das nicht -1/T sein?

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genau so ist es !

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Aber warum kann ich -t/T nicht so einfach ableiten

u = -t

u'= -1

v = T

v' = 1

Müsste doch so auch funktionieren oder nicht ?

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T ist die Periodendauer und konstant - also nicht von der Laufzeit t abhängig.

Die Ableitung von T ist daher Null

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Im übrigen geniesst man konstante Faktoren, anstatt daraus sinnlos verkomplizierte Quotientenregeln zu basteln!

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Genau... T ist ja eine Konstante und die Ableitung davon ist dann ja sinngemäß 0. Ärgerlich, ich habe das die gnaze Zeit übersehen. Danke

u = -t

u'= -1

v = T

v' = 0

Also:

t*0 -1T /T^2

kürzen -1/T

So passt es dann oder?

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richtig - womit bewiesen wurde, dass auch die komplizierte Variante der Quotientenregel nach zahlreichen Anläufen zum gleichen Ziel führt wie die einfache Faktorregel.

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""womit bewiesen wurde, dass auch die komplizierte Variante der Quotientenregel nach zahlreichen Anläufen zum gleichen Ziel führt wie die einfache Faktorregel. "" Genau :D 

Aber danke nochmal, ich hab das die ganze Zeit einfach falsch betrachtet, ich ging, wie sich gezeigt hat von T als Variable aus und nicht als Konstante...

Dann ist die Ableitung des ganzen deutlich einfacher !