Zeigen Sie dass f linear ist bzw. 2. Teil dass f diagonalisierbar ist. f:V->V. f(P)=Q. Q(X)=P(X)+(1-X)P'(X)

Question

Sei V = {P element K [X] | deg (P) kleiner gleich n}.

Dann ist V ein Vektrorraum mit dim V= n+1.

Sei f :V->V definiert durch f(P)=Q, wobei    Q(X)=P(X)+(1-X)P'(X)  und P' die Ableitung von P ist.

1.Zeigen Sie, dass f linear ist.

2. Ist f diagonalisierbar? Wenn ja, bestimmen sie eine Basis, die aus Eigenvektoren von f besteht. (Tipp: Betrachten Sie die Polynome Pj(X)=(X-1)^j.)

Ich bitte um schnelle hilfe Rechnung mit ausführlicher Erklärung wenn möglich wäre wirklich sehr hilfreich!!!!

Comments

Kann man annehmen, dass P von Anfang an und nicht erst im 2. Teil Polynome sind?

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Ich weiss es nicht bitte wenigstens Ansätze

Answer 1

Punkt 1) ist trivial und beruht darauf, dass Differenzieren ein linearer Prozess ist.

Punkt 2) ; du musst dir noch nicht mal selber was denken.

f P ( j )  = ( x - 1 ) ^ j  -  ( x - 1 ) j ( x - 1 ) ^ ( j - 1)  =  ( 1 )

= ( 1 - j )    ( 2 )

Du hast auch ( n + 1 ) Eigenpolynome; für jeden Grad eines - es geht somit alles gut.

Is aber trotzdem voll witzig. Weil über einem Körper K der Charakteristik Null ist ja Entartung ausgeschlossen. Überleg dir mal, was bei Primzahlcharakteristik passiert; etwa p = 2 . Da sind dann die beiden Unterräume entartet mit gerader bzw. ungerader Parität .

Comments

Ich muss doch mehr Korrektur lesen; ( 2 ) muss natürlich heißen

  
       f P ( j ) = ( 1 - j ) P ( j )