Nebenklassen Algebra Bestimmen: Gruppe G = (Z6 × Z6, ⊕) mit (a, b) ⊕ (c, d) = (a +6 c, b +6 d)

Question

Hi. Habe Probleme mit den Nebeklassen von Unter-(Gruppen). kann mir jemand erklären wie diese alle KONKRET bestimmen kann?

Mein Ansatz: Ich bestimme die Elemente und dann ob es z.B. eine Untergruppe von der Gruppe mit x Elementen gibt mit dem Satz von lagrange.

Wie komme ich jetzt allerdings auf die Nebenklassen?? Meine Aufgabe:

Gegeben die Gruppe G = (Z6 × Z6, ⊕) mit (a, b) ⊕ (c, d) = (a +6 c, b +6 d) 

--Geben Sie eine Untergruppe U mit 4 Elementen an. Geben Sie die Linksnebenklassen von U an. Ist U ein Normalteiler?

Comments

...stell mal die Originalfrage als Bild rein.

Answer 1

Das war doch neulich schon da :
Die gesuchte Untergruppe ist die mit den 4 Elementen:

U = { (0/0) ; ( 3/0) ; (o/3) ; ( 3/3) }

Für die Linksnebenklassen nimmst du einfach ein Element von G und addierst dazu
alle Elemente von U.
z.B.   Zum Element (1/1) erhältst du  { (1/1) ; ( 4/1) ; (1/4) ; (4;4) }
Das ist die Linksnebenklasse von (1/1).

Die schon in einer Klasse sind, brauchst du nicht nochmal zu betrachten, denn z.B.
die Linksnebenklasse von (4/4) wäre ja  { (4/4); (7/4)=(1/4) ; ( 4/1) ; (1/1) } also die
gleiche Klasse wie bei (1/1). Das ist immer so: Wenn zwei in der gleichen Nebenklasse sind,
sind ihre Nebenklassen gleich.
Da deine Gruppe G 36 Elemente hat, erhältst du 9 verschiedene Nebenklassen.
Und da G kommutativ ist, ist U auch ein Normalteiler.

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Vor allem hat der Fragesteller nix dazu gelernt und versteht wahrscheinlich immer noch nicht warum die Gruppe die er in seiner Frage geschrieben hat erst dank deiner Interpretation zur Gruppe wird.