Unter welchem Winkel ist die Seitenkante einer quadratischen Pyramide maximal?

Question

Es handelt sich dabei um eine quadratische Pyramide mit der Grundfläche x^2 und der Seitenkante a. Unter welchem Winkel zwischen der Seitenkante und der Grundfläche ist das Volumen maximal?

Also, wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Winkel zwischen a und der diagonale der Grundfläche gesucht. Aber wie berechne ich den? Vermutlich über cos und sin.. aber mehr fällt mir dazu leider nicht ein.

Comments

Sieht der Sachverhalt so aus ?

Die obere Skizze ist die Draufsicht der Pyramide
G = x^2
Die Diagonale wäre D = √ ( x^2 + x^2 )
D = x * √ 2
Die Seitenlänge a ist gegeben.
Die Höhe ist h
( Hälfte der Diagonalen )^2 + h^2 = a^2

h = √ [ a^2  - ( x * √ 2 )^2 ]

V = 1/3 * x^2 * h
V = 1/3 * x^2 *  √ [ a^2  - ( x * √ 2 )^2 ]

Siehst du das auch so ?

Bin gern weiter behilflich.

mfg Georg

Answer 1

Ich zähle drei Versuche eine Frage zu stellen. Und alle Fragen weichen dermaßen voneinander ab, dass ich wirklich nicht erkennen kann worum es dir überhaupt geht.

1. Unter welchem Winkel ist die Seitenkante einer quadratischen Pyramide maximal?

Der Winkel sollte den Grenzwert von 90 Grad haben.

2. Unter welchem Winkel zwischen der Seitenkante und der Grundfläche ist das Volumen maximal?

Der Winkel sollte den Grenzwert von 90 Grad haben.

3. Also, wenn ich es richtig verstanden habe, ist der Winkel zwischen a und der diagonale der Grundfläche gesucht.

COS(α) = √((x/2)^2 + (x/2)^2) / a

α = ARCCOS(√2·x/(2·a))

Answer 2

Ich rechne meinen Kommentar-Vorschlag einmal durch

1 Fehler war allerdings vorhanden

Die obere Skizze ist die Draufsicht der Pyramide
G = x²
Die Diagonale wäre D = √ ( x² + x² )
D = x * √ 2
Die Seitenlänge a ist gegeben.
Die Höhe ist h
( Hälfte der Diagonalen )² + h² = a²
Hälfte der Diagonalen : x * √ 2  / 2 = x / √ 2

h = √ [ a²  - ( x / √ 2 )² ]
h = √ ( a²  - x^2 /  2 )

V = 1/3 * x² * h
V = 1/3 * x² *  √ ( a²  - x^2 /  2 )
V ´( x ) = ...

Extremwert
x = 2a / √ 3

Bei gegebenen a liegt der Maximalwert des Volumens bei x = 2a / √ 3

Die Diagonale wäre
x * √ 2 = 2a / √ 3 * √ 2
Die Hälfte der Diagonalen
√ 2 * a / √ 3

h = √ ( a²  - x^2 /  2 )
h = √ ( a²  - ( 2a/√3 )^2 /  2 )
h = √ ( a²  - ( 4 * a^2 / 3 ) /  2 )
h = √ ( a²  - ( 2/3 * a^2  )
h = √ ( 1/ 3 a²  )
h =  √ ( 1/ 3 ) * a

tan ( α ) = h / ( Hälfte der Diagonalen )
tan ( α ) = √ ( 1/ 3 ) * a  / ( a / √ 3 * √ 2 )
tan ( α ) = ( 1/ 3 )   / ( 1   / √ 3 * √ 2 )
tan ( α ) = ( 1/ 3 )   / ( 1   / √ 3 * √ 2 )
tan ( α ) = 0.4082
α =  22.2 °

So. Das muß ich alles noch einmal überprüfen.

Comments

Fehler :
nicht
Die Hälfte der Diagonalen
√ 2 * a / √ 3 

sondern
Die Hälfte der Diagonalen
2 * √ 2 * a / √ 3

Wird damit weiter wie oben beschrieben berechnet

ergibt sich
h = a / √ 3
und
( Hälfte der Diagonalen ) = √ (2/3) * a

tan ( α ) = h / ( Hälfte der Diagonalen ) = 0.707
α = 35.26 °

mfg Georg