Partielle Integration bei Stammfunktion von f(x)=(x^2 - 2x)*e^{0.5x}?

Question

Aufgabe Flächeninhalt:

Gegeben ist die Funktion \( \mathrm{f} \) mit \( f(x)=\left(x^{2}-2 x\right) \cdot e^{0,5 x} \)

a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von \( \mathrm{f} \).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der gelben Fläche.

c) In welchem Verhältnis teilt die senkrechte Gerade \( \mathrm{x}=1 \) die gelbe Fläche.

Answer 1

Du kannst partielle Integration machen oder Ableiten und Koeffizientenvergleich.

F(x) = e^{0.5·x}·(a·x^2 + b·x + c)

f(x) = e^{x/2}·(1/2·a·x^2 + (2·a + 1/2·b)·x + b + 1/2·c)

1/2·a = 1

2·a + 1/2·b = -2

b + 1/2·c = 0

Lösung: a = 2 ∧ b = -12 ∧ c = 24

F(x) = e^{0.5·x}·(2·x^2 - 12·x + 24)

Answer 2

zu a)

hier mußt Du 2 mal partiell integrieren

(siehe Bild) , ich habs nur einmal getan

Lösung zum Vergleich:

=e^{x/2} (2 x^2-12x+24) +C

zu b)

Du mußt hier die Nullstellen ermitteln und das Integral berechnen (Bereich also von 0 bis 2)

Lösung: der Betrag lautet ≈ 2.2537

zu c)

hier muß der linke Teil un der rechte Teil der Fläche berechnet werden und dann ins Verhältnis gesetzt werden.