Volumen einer rotierenden Hyperbel

Question

ich sollte das Volumen berechnen, das die rotierende Hyperbel b^2 x^2 -a^2 y^2=a^2 b^2 im Intervall -2a bis 2a besitzt. Dabei sollte ich die Funktion sowohl über die x- als auch über die y-Achse integrieren.

Hier mein Versuch über die x-Achse:

Mit der Y-Achse konnte ich nicht einmal anfangen, weil ich nicht weiß, wie ich die Intervallgrenzen festlege. Habt ihr da vielleicht einen Ansatz für mich?

PS: Das Pinke ist die richtige Lösung

Comments

Mist - hab mir den Halswirbel verrenkt !

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oops, hier für noch gerade Hälse ;)

Answer 1

im Intervall -2a bis 2a

liegt zunächst mal ein Intervall von -a bis a,

in welchem die Funktion nicht definiert ist.

Wie hast Du das behandelt ?

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Danke für den Hinweis! Wenn ich das beachte, kommt ich trotzdem nicht aufs richtige Ergebnis....

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Bist nicht auch der Meinung, dass die Umstellung so erfolgen sollte ?

$$ b^2 x^2 -a^2 y^2=a^2 b^2 $$
$$ b^2 x^2 -a^2 b^2     =a^2 y^2$$
$$ y^2= \frac{b^2 x^2 -a^2 b^2}    { a^2} $$

Answer 2

Mit dem Hinweis auf den Definitionsbereich (nicht def. für |x| < |a| hast du für den 1. Teil
wegen y^2 = b^2 ( x^2 / a^2 - 1 )

$$V=\pi *\int _{ -2a }^{ -a }{ { y }^{ 2 } } dx\quad =\quad \pi { b }^{ 2 }\int _{ -2a }^{ -a }{ ({ \frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }  } } -\quad 1)dx$$

Stammfunktion ist   $$\quad \pi { b }^{ 2 }\quad (\frac { { x }^{ 3 } }{ 3{ a }^{ 2 } } -\quad x\quad )$$

also V = pi * b^2   ( ( -a^3 / 3a^2 + a ) - ( -8a^3 / 3a^2 + 2a )

= pi * b^2   ( ( -a / 3 + a ) - ( -8a / 3 + 2a ) ) = pi * b^2  * 4a/3

Und wegen der Symmetrie hat das das Int von a bis 2a den gleichen Wert, also

insgesamt dein Kontrollergebnis.

Rot. um y-Achse :   Punkt ( 2a / y ) einsetzen gibt nach meiner Rechnung y = ± wurzel(3)*|b|

für die Grenzen. Auch hier musst du natürlich wieder bedenken: Wo ist es definiert ?

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Super, danke! Ich glaube, ich bin der 2. Lösung auch schon auf der Spur, bräuchte aber noch einen Anstoß in die richtige Richtung ;)

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Stammfunktion für b^2  dy ist   b^2 * y

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schaffe es trotzdem nicht...

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Ist auch schon fast richtig:

V( b*wurzel(3) = pi*a^2 / b^2 * (   b^3 * wurzel(3)  +  b^3 * 3* wurzel(3) / 3 )

= pi*a^2 / b^2 * (   b^3 * wurzel(3)  +  b^3 * wurzel(3)  )

= pi*a^2 / b^2   * 2 * b^3 * wurzel(3)

= pi*a^2  * 2 * b * wurzel(3)

Und weil das nur die Hälfte ist ( von 0 bis b*wurzel(3) musst du noch mal 2 nehmen:

Bingo!