Extremalprobleme // Tennishalle mit Kunststofffenster

Question

Ein Teil der Hausaufgaben war eine etwas schwierigere oder zumindest kompliziertere Aufgabe.

Die andere habe ich schon hinbekommen, nur diese eben nicht.

Eine 12 m hohe Halle hat ein parabelförmiges Profil.

In die Giebelwand soll auf der Rückseite ein rechteck. Fenster maximaler Fläche eingebaut werden.

Die Innenwand kann als Funktion y=-1/12x² beschrieben werden.

Die Mauer zwischen dem Fenster und der Innenwand wird vernachlässigt. Welche Maße ergeben sich für das Fenster? 

Also als Idee hätte ich jetzt

A=a*b  --> definiert durch die Differenz von x mit 12 und y mit 12 ?

Eine Nebenbedinung fällt mir partout nicht ein

Luis

PS:Wie kann man das Minimum herausfinden ? Alle Aufgaben drehen sich bisher um das Maximum, was jedoch wenn man möglichst wenig Material verbrauchen will ?

Answer 1

Der Ansatz ist ja schonmal richtig .

Ich würde deine Parabel aber nach oben verschieben:

f(x) =-1/12x^2 +12

Frage: Die Steigung ist vorgegeben,oder ?

Jetzt schauen wir uns doch mal an,was a und b darstellt.

Wir halbieren unser Rechteck und betrachten nur die Seite rechts von der y-Achse. (Wenn das halbe Viereck maximal wird, so ist das ganze auch maximal)

a ist jetzt also x.

Da wir den Graphen nach oben verschoben haben, ist b = f(x)

Setze jetzt a und b in A ein und berechne das Maximum.

Zu deiner letzten Frage, du prüfst doch erst immer die notwendige Bedingung f'(x) = 0

Dann die hinreichende Bedingung f''(x) ungleich 0.

Ist f''(x) größer als 0 so haben wir ein Minimum, ist f''(x) kleiner als 0 so haben wir ein Maximum.

Answer 2

soll das Fenster vom Boden bis zur Decke gehen? Wenn ja dann verschieb die Funktion um ein besseren Überblick zu haben:

$$ f(x) = -\frac{1}{12}x^2+12 $$

Da die Spitze der Decke auf 12 m Höhe sein soll.

Ein eingezeichnetes Rechteck hat ja die Fläche für \( x \in [0,12] \)

$$ A(x) = 2\cdot x \cdot f(x) $$

Das kannst du ja jetzt auf Maximum untersuchen.

PS: Auf ein Minimum untersuchst du genauso wie auf ein Maximum nur, dass du meist einen lokalen Tiefpunkt suchst.

Gruß

Comments

Nein die Skizze ist so in unserem Buch

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Was willst du mir damit sagen?

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Dass man die Funktion nicht um 12 nach oben verschieben kann :DD

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Natürlich darf man das (ein Argument dagegen wie "die Skizze ist so im Buch" ist mehr als grenzdebil). Wenn man es nicht will, dann ändert es aber nichts an der Vorgehensweise die Flächenfunktion wäre dann:

$$ A(x) = 2x(y-(-12)) $$