Ich lerne gerade für mein Abi und übe Matrizen. Nun bin ich an einer Aufgabe zur stabilen Verteilung gescheitert.
Wieso wird wie in der Modellösung angegeben die dritte Zeile des LGS einfach durch x+y+z=4400 ersetzt? Müsste da nicht eigentlich auch x, y, z mit ihren Vorfaktoren angegeben werden?. Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte und mir den Rechenweg von Anfang bis Ende erklärt... :)
Aufgabe:
Die Geschäftsleitung strebt aus Gründen der Planungssicherheit an, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt.
Zeigen Sie durch Berechnung, dass es bei dem durch die Matrix A beschriebenen Buchungsverhalten eine Verteilung der Kunden des Reisebüros auf die Gruppen E, M und K so gibt, dass die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K von Jahr zu Jahr gleich bleibt.
Modelllösung:
Bezeichnet \( x \) für ein bestimmtes Jahr die Anzahl der Kunden, die in dem Jahr genau einen Urlaub buchen, \( y \) die Anzahl der Kunden, die in dem Jahr mehr als einen Urlaub buchen, und \( z \) die Anzahl der Kunden, die in dem Jahr keinen Urlaub buchen, so ist das lineare Gleichungssystem:
\( 0,8 x+0,2 y+0,6 z \)
\( 0,1 x+0,6 y+0,3 z=y \)
\( x + y + z = 4400 \)
zu lösen bzw. der Fixvektor \( \left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right) \) zur Matrix \( A \) unter der Nebenbedingung \( x+y+z=4400 \) zu bestimmen.
Als Lösung ergibt sich: \( x=2750, y=1100, z=550 \)
Die Anzahl der Kunden der einzelnen Gruppen E, M und K bleibt von Jahr zu Jahr gleich, wenn in einem Jahr 2750 Kunden genau einen Urlaub, 1100 Kunden mehr als einen Urlaub und 550 Kunden gar keinen Urlaub buchen.
