Allgemeine Gleichung der Ebene bestimmen, die parallel zur Ebene E1: 2x-3y+z=5 ist und durch den Punkt P(-1|1|2) geht.

Question

Die Ebene E2 ist parallel zur Ebene E1: 2x-3y+z=5 und geht durch den Punkt P(-1|1|2).

Gib die allgemeine Gleichung der Ebene E2 an.

Wie rechnet man das?

Answer 1

Die Ebene e2 ist parallel zur Ebene e1: 2x-3y+z=5 und geht durch den punkt p(-1/1/2). Gib die allgemeine Gleichung der Ebene e2 an.

Wenn sie parallel ist hat sie den gleichen Normalenvektor n = [2, -3, 1]

Damit sie durch den Punkt [-1, 1, 2] geht muss gelten

E2: 2x - 3y + z = [-1, 1, 2] * [2, -3, 1]
E2: 2x - 3y + z = -3

Answer 2

Zwei Ebenen sind parallel ⇔ sie haben denselben Normalenvektor.

 

In der Koordinatendarstellung lässt sich der Normalenvektor leicht ablesen:

Für die Ebene ax + by + cz = d ist der Normalenvektor n = (a, b, c)

Also muss die Koordinatengleichung für die Ebene e2 lauten:

e2: 2x - 3y + z = d

wobei d noch mit Hilfe des Punktes p bestimmt werden muss.
Setzt man p in die Gleichung ein:

2*(-1) - 3*1 + 2 = d

-2 - 3 + 2 = d

d = -3

erhält man die Gleichung:

e2: 2x - 3y + z = -3