Parameterdarstellung für die Garade g angeben und prüfen, ob P (-14|29|9) auf g liegt.

Question

gegeben ist eine Gerade g, die durch die Punkte A (-2|5|3) und B (2|-3|1) geht. Im Folgenden soll man eine Parmeterdarstellung für g angeben und überprüfen, ob der Punkt P (-14|29|9) auf g liegt. 

Wäre wirklich sehr froh, wenn mir jemand genau erklären könnte, wie man bei dieser Aufgabe auf ein Ergebnis kommt. :)

Answer 1

Ich färbe Vektoren hier einfach mal fett. Schreibe sie selbst aber als Vektoren ab.

g: r = (-2 | 5 | 3) + t* (4| -8 | -2)         |Richtungsvektor vereinfachen

g: r = (-2 | 5 | 3) + t* (2| -4 | -1)

P(-14 | 29 | 9) einsetzen

- 14 = - 2 + 2t ---> -12 = 2t --> t = -6

29 = 5 - 4t --> 24 = -4t → t = -6

9 = 3-t → t = -6

Nur wenn überall dasselbe t passt, liegt der Punkt auf der Geraden. Hier ist das somit der Fall.

Comments

Auf diesen Lösungsweg bin ich vorhin auch gekommen, allerdings kommt bei mir immer die Antwort t=-3 raus. Ich habe nämlich mit g: r = (-2 | 5 | 3) + t* (4| -8 | -2) gerechnet. Wie wurde denn der Richtungsvektor vereinfacht zu g: r = (-2 | 5 | 3) + t* (2| -4 | -1) ?

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Das hast du gut gemacht. Dein t = -3 ist genau so gut, wie mein t = -6.

Ich sorge wenn möglich dafür, dass der Richtungsvektor möglichst einfache Komponenten hat. Hier waren alle Komponenten gerade und ich konnte ihn einfach durch 2 teilen.

Vorteil der Verkürzung der Richtung ist, dass beim t seltener Brüche rauskommen.

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Wie kommt ihr auf die (4/-8/-2)?

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Eine gute Handskizze von deiner Seite sollte kein Problem sein und schadet sicher nicht. Dann vielleicht noch folgender Tipp:

Berechne

r1 = (-2 | 5 | 3) + 1 *  (4| -8 | -2)       

r2 = (-2 | 5 | 3) + 2 *  (4| -8 | -2)

r3 = (-2 | 5 | 3) + (1/2) *  (4| -8 | -2)          

und überlege, warum da was rauskommt.

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Bitte jeweils angeben, wenn sich eine Frage erledigt hat, bzw. du sie nochmals neu eingestellt hast. Bsp. https://www.mathelounge.de/720371/parameter-darstellung-gerade-angeben-und-prufen-punkt-liegt Danke

Answer 2

Hi, es ist
$$ g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OB}\right) $$was aber auch in jedem entsprechenden Buch zum Thema erwähnt wird. Dort steht dann auch gleich, wie man Punktproben durchführt. Wo siehst Du also Probleme?

Comments

So, ich verbessere mich mal, es muss natürlich heißen:
$$ g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} + r \cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right) $$

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Und wie kommt man auf die OB-OA? Das ist einfach der Vektor, oder?

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OA ist die Bezeichnung für den Ortsvektor des Punktes A.

D.h. eine Spalte mit 3 Einträgen (den 3 Koordinaten des Punktes A).

Du solltest von Anfang an strickt zwischen Punkten (horizontale Darstellung der Koordinaten) und Vektoren (vertikale Darstellung)