Antwort mit KI erzeugt
a) Berechnung der Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung
I. Alle Flaschen funktionstüchtig:
In diesem Fall verwenden wir die Binomialverteilung. Die Formel dafür lautet \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\), wobei \(n\) die Anzahl der Versuche, \(k\) die Anzahl der Erfolge, \(p\) die Erfolgswahrscheinlichkeit (hier 0.98, da 2% Ausschuss bedeutet, dass 98% funktionstüchtig sind) und \(1-p\) die Misserfolgswahrscheinlichkeit darstellt.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass alle 50 Flaschen funktionstüchtig sind (\(k=50\)), ergibt sich:
\(P(X=50) = \binom{50}{50} (0.98)^{50} (1-0.98)^{0} = (0.98)^{50}\).
II. Genau vier Flaschen Ausschuss (\(k=46\)):
\(P(X=46) = \binom{50}{46} (0.98)^{46} (0.02)^{50-46}\),
wobei \(\binom{50}{46}\) die Anzahl der Wege ist, auf denen 46 Erfolge in 50 Versuchen erzielt werden können.
III. Weniger als 44 Flaschen funktionstüchtig:
Hier summiert man die Wahrscheinlichkeiten von 0 bis 43 funktionstüchtigen Flaschen auf. Dies kann direkt berechnet oder mithilfe von Tabellen bzw. Software zur Berechnung binomialverteilter Wahrscheinlichkeiten erfolgen.
b) Erwartungswert und Standardabweichung
Der Erwartungswert (\(E(X)\)) einer binomialverteilten Zufallsgröße ist \(n \cdot p\), und die Varianz (\(Var(X)\)) ist \(n \cdot p \cdot (1-p)\). Die Standardabweichung ist dann die Wurzel aus der Varianz (\(\sigma = \sqrt{Var(X)}\)).
Mit \(n = 50\) und \(p = 0.98\) ergibt sich:
- \(E(X) = 50 \cdot 0.98 = 49\),
- \(Var(X) = 50 \cdot 0.98 \cdot 0.02 = 0.98\),
- \(\sigma = \sqrt{0.98}\).
Die Interpretation: Im Durchschnitt sind 49 der 50 Flaschen in einer Kiste nicht defekt. Die Standardabweichung gibt an, wie stark die Anzahl der nicht defekten Flaschen um diesen Mittelwert schwankt.
c) Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Kisten zurückgehen
Für eine genaue Berechnung muss man jede mögliche Konfiguration betrachten, bei der unter den 4 Kisten genau 2 eine defekte Flasche enthalten. Dies kann komplex werden und hängt oft von der genauen Ausgestaltung der Wahrscheinlichkeitsverteilung ab. Ein Ansatz kann die Verwendung der Binomialverteilung sein, allerdings erfordert diese Fragestellung eine detailliertere mathematische Behandlung, welche auf Annahmen über die Verteilung der defekten Flaschen über die Kisten basiert.
d) Approximation mit der Normalverteilung
Für die Approximation der Binomialverteilung mit der Normalverteilung wird die Laplace-Bedingung geprüft: \(n \cdot p \geq 5\) und \(n \cdot (1-p) \geq 5\).
Mit \(n = 500\) und \(p = 0.98\) ist die Bedingung erfüllt.
Die Standardisierung erfolgt über \(Z = \frac{Y - E(Y)}{\sigma_Y}\), wobei \(E(Y) = n \cdot p\) und \(\sigma_Y = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}\). Die geometrische Bedeutung dieses Vorgehens besteht darin, die ursprüngliche Verteilung auf eine Standardnormalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1 zu transformieren, was die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis erleichtert.
e) Wahrscheinlichkeit für mindestens 11 defekte Flaschen
Hier verwendet man die Gaußsche Integralfunktion \(\Phi(z)\), um die kumulative Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Die Berechnung von \(P(X \geq 11)\) bedeutet, die Wahrscheinlichkeit vom anderen Ende (bei 500 - 11 = 489 funktionstüchtigen Flaschen) zu betrachten und eventuell \(1 - \Phi(z)\) zu verwenden, um den gesuchten Bereich unter der Kurve zu bekommen. Erneut ist die genaue Berechnung abhängig von der Standardisierung der Zufallsgröße. Die geometrische Bedeutung involviert hier den Flächenanteil unter der Standardnormalverteilungskurve, der den gesuchten Wahrscheinlichkeiten entspricht.
Um die tatsächlichen Werte zu berechnen, müssten die Schritte mit spezifischen Werten und möglicherweise Tabellen oder Software für die Normalverteilung detaillierter durchgeführt werden.
