Berechnen Sie, wie nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen können.

Question

Aufgabe:

Bezogen auf ein Koordinatensystem mit einem Flughafen im Ursprung verlaufen die Bahnen zweier Flugzeuge auf den Geraden g: \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 5 \\ 1\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \) und h: \( \bar{x}=\left(\begin{array}{c}4 \\ 9 \\ 3\end{array}\right)+5\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

(1 Koordinateneinheit = 1 km).

Berechnen Sie, wie nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen können.

Answer 1

Mache aus zwei Geraden eine Ebene und einen Punkt

g1: X = [0, 5, 1] + r·[1, 2, 2]
g2: X = [4, 9, 3] + s·[1, 1, 0]

-->

E: X = [0, 5, 1] + r·[1, 2, 2] + s·[1, 1, 0]
P: X = [4, 9, 3]

Normalenvektor

N = [1, 2, 2] ⨯ [1, 1, 0] = [-2, 2, -1] = -[2, -2, 1]

Ebene in Koordinatenform

E: X·[2, -2, 1] = [0, 5, 1]·[2, -2, 1]
E: 2·x - 2·y + z = -9

d = (2·x - 2·y + z + 9) / √(2^2 + 2^2 + 1^2)

Hier jetzt nur noch P einsetzen

d = (2·4 - 2·9 + 3 + 9) / √(2^2 + 2^2 + 1^2) = 2/3

Comments

Ich verstehe den Schritt beim Normalenvektor nicht. Können sie den noch einen Schritt genau erklären oder schreiben was da gemacht werden muss?? Danke

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Man bildet nur das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren. Dann kann man wenn man will noch geschickt ein Vorzeichen ausklammern, damit die Koordinatenform etwas schöner wird.

N = [1, 2, 2] ⨯ [1, 1, 0] = [-2, 2, -1] = -[2, -2, 1] 

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Ok danke jetzt habe ich es verstanden :)

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Es geht um die obere Aufgabe, die ich mit Hilfe einer Hilfsebene errechne. Ich will es nach dieser Methode, nicht nach der oben beschriebenen Abstandsfunktion. Ich verzweifele ich verzweifele. Keine Ahnung was ich falsch mache. Warum habe ich den falschen Abstand errechnet?

\( \left.\left(\begin{array}{l}0+1 t \\ 5+2 t \\ 1+2 t\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}4+1r \\ 9+1 r \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 t-4-1 r \\ -4-1 r+2 t \\ -2+2t \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 2\end{array}\right) \right| \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \)

\( I: ~ 9 t-3 r-16=0 \)
\( II: ~ -2 r+3 t-8=0 \)

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Wie genau bist du vorgegangen?

Bestimmung des Vektors n, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren steht

Konstruktion einer Hilfsebene aus einer Geraden und dem Vektor n

Schnittpunkte der Hilfsebene mit g und h und dann den Abstand zwischen diesen Punkten

So?

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Dein Gleichungssystem ergibt nur zwei Werte, ich habe

\(r=-\frac{1}{3}\quad s=-1\quad t=-\frac{8}{3}\)

Das ergibt die Lotfußpunkte

\(L_g\begin{pmatrix} -\frac{1}{3}\\\frac{13}{3}\\\frac{1}{3} \end{pmatrix}\quad und \quad L_h\begin{pmatrix} 3\\8\\3 \end{pmatrix}\)

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Ich hatte mich vertan. Habe es mit Hilfe der Orthogonalität gelöst.

Nach diesem Chema.

Komisch normalerweise kommen zwei Variablen raus. Bin selbst gerade verwirrt. Das Video zeigt aber genau wie man es löst. Habe trotzdem was anderes raus?

Woher ist dend das S? Es sind ja nur zwei Variablen?

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Das s ist aus der Gerade h, r ist von g.

t habe ich vor den n-Vektor gesetzt und die Hilfsebene = h und somit auch drei Variable

Ich sehe mir gleich das Video an.

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Du hast also ohne Hilfsebene gerechnet, aber trotzdem die Lösungen für r und s vertauscht.

Richtig ist \(s=-\frac{8}{3}\quad und \quad r=\frac{8}{9}\)

und damit ergeben sich die Lotfußpunkte

\(L_g=\begin{pmatrix} 0+\frac{8}{9}\\[5pt]5+\frac{16}{9}\\[5pt]1+\frac{16}{9} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{8}{9}\\[5pt]\frac{61}{9}\\[5pt]\frac{25}{9} \end{pmatrix}\\ L_h=\begin{pmatrix} 4-\frac{8}{3}\\[5pt]9-\frac{8}{3}\\[5pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{4}{3}\\[5pt]\frac{19}{3}\\[5pt]3 \end{pmatrix}\\\)

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Danke für die Antwort Silvia.

Ergänzung zu der ganz oben gestellten Aufgabe. Bei meiner Aufgabe steht zudem: 1 Koordinateneinheit = 1km, t= Zeit in 10 Sekunden und die Frage wo sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes befinden. In der Lösung steht " Also haben beide Flugzeuge in 1,6h (96 Minuten den geringsten Abstand von 4,82km."

Meine Frage wäre nun wie kommt man auf beide Werte. Habe als Abstand 2/3 raus. Wie wird daraus auf einmal 4,82 km und woher kommen die 1,6h.

Vielen Dank

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Hallo Burger,

dann ist meine Antwort falsch, weil offenbar nicht der geringste Abstand gesucht wurde. Darüber muss ich nochmal nachdenken...

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Also es sind zwei Aufgaben.

1.Wie nah können sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen? Kollidieren sie?

2.Wo befinden sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes ?

in der Lösung steht zudem das sie nicht kollidieren.

Da ich 2/3 (Betrag zwischen beiden Geraden, kleinster Abstand, mit Orthogonalität wie im Video) raushabe versteh ich nicht die zwei anderen Ergebnisse zustande kommen.

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[0, 5, 1] + r·[1, 2, 2] = [4, 9, 3] + s·[1, 1, 0] + t·[-2, 2, -1] --> r = 8/9 ∧ s = - 8/3 ∧ t = 2/9

1.Wie nah können sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen? Kollidieren sie?

2/9·ABS([-2, 2, -1]) = 2/3

Das war mein wert den ich auch in meiner ersten Antwort heraus hatte

2.Wo befinden sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes ?

[0, 5, 1] + 8/9·[1, 2, 2] = [8/9, 61/9, 25/9] = [0.889, 6.778, 2.778]

[4, 9, 3] - 8/3·[1, 1, 0] = [4/3, 19/3, 3] = [1.333, 6.333, 3]

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Ergänzung zu der ganz oben gestellten Aufgabe. Bei meiner Aufgabe steht zudem: 1 Koordinateneinheit = 1km, t= Zeit in 10 Sekunden und die Frage wo sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes befinden. In der Lösung steht " Also haben beide Flugzeuge in 1,6h (96 Minuten den geringsten Abstand von 4,82km."

Das ist dann offensichtlich eine andere ähnliche Aufgabe, weil ja oben kein t gegeben war.

d² = (([0, 5, 1] + t·[1, 2, 2]) - ([4, 9, 3] + t·[1, 1, 0]))^2 = 5·t^2 - 16·t + 36

d²' = 10·t - 16 = 0 --> t = 1.6 ZE = 16 Sekunden !!!

d = √(5·1.6^2 - 16·1.6 + 36) = 4.817 km

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Das ist sehr komisch. Also ich kann nochmal genau die vollständige Aufgabe posten.

Auf einem Radarschirm sind zwei Flugzeuge zu erkennen, deren Flugbahnen in einem Koordinatensystem mit der Radarstation im Ursprung auf den Geraden g und h verlaufen.

G: x= (0/5/1)+t*(1/2/2) und h: x=(4/9/3) + t(1/1/0) ( 1 Koordinateneinheit = 1 Kilometer, t= Zeit in Sek.)

Berechnen sie zwei nah sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen könnten?
wer kann mir weiterhelfen? danke!

1.Wie nah können sich die Flugzeuge im ungünstigsten Fall kommen? Kollidieren sie?

2.Wo befinden sich die Flugzeuge zum Zeitpunkt des kleinsten Abstandes ?

Lösungssatz aus den Lösungen: Also haben beide Flugzeuge in 1,6h (96 Minuten den geringsten Abstand von 4,82km

Das ist die Aufgabe die gleiche Aufgabe die wahrscheinlich in meinem Buch Recycelt worden und nur mehr beschrieben wird.

Brauche Hilfe verstehe die Lösung überhaupt gar nicht. Rechne ganz normal mit der Orthogonalität. Klappt eigentlich immer bei normalen Aufgaben, bei solchen Sachaufgaben wird's oft schwierig.

Danke

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Ich habe das ja vorgerechnet wie es zu machen ist und komme auch auf die Angaben der Lösung.

Allerdings ist es Unklar wie die einheiten sind

in der Lösung ist t in Stunden. Und du hast einmal t in Sekunden und t in 10 Sekunden notiert laut Aufgabenstellung.

Wie dem auch sei. Stunden macht wenig Sinn. Es gibt wohl kein Flugzeug was 1.4 km/h fliegt. Ich kenne zumindest keines.

Das kommt eben, wenn jemand eine Buchaufgabe einfach umschreibt und da was eigenes ohne Nachzudenken macht.

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Würdest du mir netterweise verraten wie ich von 2/3 auf 4,82km Abstand komme.
Wie bekomme ich die Zeit in Stunden raus?

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Würdest du mir netterweise verraten wie ich von 2/3 auf 4,82km Abstand komme. Wie bekomme ich die Zeit in Stunden raus?

Das hat mit der ersten Aufgabe nichts mehr zu tun. Für deine Aufgabe gilt meine 2. Rechnung

d² = (([0, 5, 1] + t·[1, 2, 2]) - ([4, 9, 3] + t·[1, 1, 0]))^2 = 5·t^2 - 16·t + 36

d²' = 10·t - 16 = 0 → t = 1.6 ZE = 16 Sekunden !!!

d = √(5·1.62 - 16·1.6 + 36) = 4.817 km

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Gilt dieser Rechenweg von @Der_Mathecoach eigentlich nur, wenn die beiden Geraden keine Schnittpunkte haben, denn:

dass man den Abstand auf diese Weise nur berechnen kann, wenn die Gerade und die Ebene parallel sind.

?