Umformung, Minimum, Grenzkosten und Durchschnittskosten

Question

Ich habe folgendes Aufgabe: Gegeben sei eine allgemeine Kostenfunktion K(x). Zeigen Sie formal, dass die Durchschnittskosten in ihrem Minimum gleich den Grenzkosten sind.

Wieso rechne ich so?:  ∂DK/∂y = 0

und dann habe ich: ∂(K/y) / ∂y = 0

wie komme ich dann darauf:  ( (∂K/∂y) * y - K * 1) / y²  ₌ 0 ?

Answer 1

Hi,

mal abgesehen davon, dass deine Notation nicht sonderlich stetig ist und ich ein wenig raten muss hier ein Versuch deine Frage zu beantworten:

Durchschnittskostenfunktion: \( DK(x) := \frac{K(x)}{x} \)

Notwendige Bedingung für ein Extremum (also insbesondere bezüglich eines Minimums)  an der Stelle \(x_0\) der Durchschnittskosten: \( DK'(x_0) = 0 \)

Somit muss also im Falle der Existenz eines Minimums gelten:

$$ \frac{K'(x_0)\cdot x_0 - K(x_0)}{x_0^2} = 0 $$

Hier wurde die allseits beliebte Quotientenregel benutzt.

Da ein Bruch nur Null wird, wenn der Zähler Null ist muss also für ein Extremum die Bedingung:

$$ K'(x_0) = \frac{K(x_0)}{x_0} = DK(x_0) $$

erfüllt sein.

Da die Grenzkosten durch die Ableitung der Kostenfunktion beschrieben werden, sollte der Zusammenhang nun offensichtlich sein.

Gruß

Comments

Jetzt ist es klar, danke schön!