Aufgabe:
Es sei \( A \) die \( 3 \times 3 \)-Matrix \( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) \).
a) Es sei \( \vec{x} \) der Vektor \( \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 5\end{array}\right) \). Bestimmen Sie den Bildvektor \( A \vec{x} \).
b) Zeigen Sie, dass die durch A gegebene lineare Abbildung jeden Vektor in die x_{1}-x_{2}-Ebene abbildet.
c) Zeigen Sie, dass die durch A gegebene lineare Abbildung eine Projektion ist.
d) Der Kern einer linearen Abbildung \( \vec{x} \mapsto A \vec{x} \) ist die Menge \( \operatorname{Ker} A=\{\vec{x} \mid A \vec{x}=\vec{o}\} \), das heißt also, die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Bestimmen Sie Ker \( A \) für die durch die oben angegebene Matrix definierte lineare Abbildung.
