v1,v2 lin. unabhängig f lin. abbildung, f(v1) und f(v2) lin. unabhängig?

Question

Sei v1,v2 linear unabhängig und f eine lineare Abbildung sind dann auch f(v1) und f(v2) linear unabhängig?
Dachte eigentlich ja denn: a,b aus K so ist f(a*v1+b*v2)=a*f(v1)+b*f(v2) oder?

Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Nein (betrachte z.B. die Abbildung, die alles auf 0 abbildet).

Comments

mhm ja hatte i.wie so eine Befürchtung naja kann man in der Klausur jetzt auch nicht mehr ändern trotzdem Danke

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Es gilt aber folgendes: Wenn \(v_1,...,v_n\) linear abhängig sind, dann sind auch \(f(v_1),...,f(v_n)\) linear abhängig.
Und: Wenn \(f(v_1),...,f(v_n)\) linear unabhängig sind, dann sind auch \(v_1,...,v_n\) linear unabhängig.

Ist \(f\) zusätzlich noch injektiv, dann gilt auch deine Aussage aus der Frage: Sind \(v_1,...,v_n\) linear unabhängig, dann sind auch \(f(v_1),...,f(v_n)\) linear unabhängig.