Extremwertaufgabe mit Parameter

Question

die Aufgabe lautet:

Der Querschnitt eines Kanals ist ein Rechteck mit unten angesetztem Halbkreis. Wählen Sie die Maße dieses Rechntecks so, dass bei gegebenem Umfang u des Querschnitts des Kanals sein Flächeninhalt möglichst groß wird.

Ich habe die Aufgabe schon bis zur Zielfunktion gelöst und die Ableitungen gemacht. Aber ich habe keine Ahnung wie ich jetzt das Erbeniss fomurlieren soll.

Meine Hauptfunktion:

A= 1/2 πr² +2r*a            (a ist die Höhe vom Rechteck und 2r ist meine Breite)

Meine Ziefunktion:

A(r)= r² (-1/2π-2)+ru

1. Ableitung / 2. Ableitung wird negativ= Maximum

A'(r)=r(-π-4)+u

Hier bin ich mir schon nicht mehr sicher, wie ich die Funktion 0 setzen kann und wie man da weiter macht.

Wie komme ich jetzt auf u und r ? 

Answer 1

U = 2·h + pi·r + 2·r

h = U/2 - r·(pi + 2)/2

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·h

A = 1/2·pi·r^2 + 2·r·(U/2 - r·(pi + 2)/2)

A = r·U - r^2·(pi + 4)/2

A' = U - r·(pi + 4) = 0

r = U/(pi + 4)

h = U/2 - (U/(pi + 4))·(pi + 2)/2

h = U/(pi + 4)

Damit haben r und h die gleiche Länge.

Comments

Hi Mathecoach, vielen Danke, dass du dich reingedachst hast, aber ich muss leider nochmal nachhaken beim Zusammenfassen

1. A = 1/2·pi·r² + 2·r·(U/2 - r·(pi + 2)/2)

2. A = r·U - r²·(pi + 4)/2

wie komme ich auf die 2. Zeile ?