Funktion f : A → B. Gegenbeispiel für f(C ∩ D) = f(C) ∩ f(D) finden

Question

Hi die Aufgabe lautet wie folgt:

Es sei f : A → B eine Funktion.

Geben Sie ein Gegenbeispiel an, das zeigt, dass im Allgemeinen f(C ∩ D) = f(C) ∩ f(D) nicht gilt.

 

Ich weiß nicht inwiefern ich zB A → B ändern darf?? darf ich dazu einfach sagen es ist x²? kann mir jemand bitte  die aufgabenstellung was genauer erklären ?

Answer 1

f:A→B beschreibt Definitionsbereich und Wertebereich der Funktion.

Die Zuordnung selbst macht man mit einem Zuordnungspfeil ↦.

 

Zu zeigen ist, dass das Bild des Schnitts zweier Mengen nicht gleich dem Schnitt der Bilder ist.

Man kann tatsächlich f(x) = x² wählen:

Sei C = 0, ∞[, D =  ]-∞, 0]

f(C) = [0, ∞[

f(D) = [0, ∞[

Die Funktion bildet sowohl die positiven als auch die negativen Zahlen auf die positiven Zahlen ab. Damit gilt

f(C) ∩ f(D) = [0, ∞[

Die Schnittmenge der beiden ist aber nur die Menge, die das Element 0 enthält,

C ∩ D = {0}

denn das ist die einzige Zahl, die in beiden Mengen ist.

Damit gilt:

f(C ∩ D) = {0} ≠ [0, ∞[