Gemeinsamer Punkt auf Geraden

Question

ich habe eine Matheaufgabe, bei der es darum geht, zu zeigen, dass Geraden nicht parallel zueinander sind, dazu soll man auch noch einen geminsamen Punkt bestimmen. Gegeben sind g: x = (5,0,3) (untereinander) + t * (1,2,-1) (untereinander) und h : x = (-1,-2,6) (untereinander) + t * (4,-2,-1) (untereinander).

Da man zeigen sollte, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind, habe ich mir die Richtungsvektoren angeschaut und da man sieht, dass diese nicht das Vielfache voneinander sind, kann man schon mal sagen, dass diese eben nicht parallel zueinander sind.

Mein Problem liegt jetzt darin, dass ich nicht weiß, wie ich einen gemeinsamen Punkt von den Geraden bestimmen kann. Ich wäre sehr dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte, gerne auch mit Erklärung :-)

Answer 1

Hallo avant001,

um den gemeinsamen Punkt zu finden, musst Du einfach die einfach die beiden Geradengleichungen gleich setzen, also g = h:

(5|0|3) + t * (1|2|-1) = (-1|-2|6) + s * (4,-2,-1)

Den 2. Faktor habe ich s genannt, um ihn von t zu unterscheiden.

Wir erhalten 3 Gleichungen:

I. 5 + t = -1 + 4s | also t = 4s - 6

II. 0 + 2t = -2 - 2s

III. 3 - t = 6 - s

I. in II. eingesetzt:

8s - 12 = -2 - 2s | + 2s + 12

10s = 10

s = 1

Das eingesetzt zum Beispiel in II.

2t = -2 - 2

t = -2

Der gemeinsame Punkt lautet also:

(5|0|3) -2 * (1|2|-1) = (3|-4|5) | hier habe ich t = -2 in g eingesetzt

Zur Probe noch s = 1 in h einsetzen:

(-1|-2|6) + 1 * (4,-2,-1) = (3|-4|5) | passt :-D

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank erstmal für die verständliche Antwort!

Ich bin derzeit bei einer weiteren Aufgabe, die dieser ähnelt und zwar habe ich das LGS jetzt schon aufgestellt, aber habe Probleme beim Auflösen:

g : x = (0,-4,5) + t * (6,7,-5) und

h : x = (-6,-11,10) + k * (6,7,5)

Die Gleichungen dazu lauten:

6t=-6+6k

-4+7t=-11+7k

5-5t=10+5k

Allerdings komme ich jetzt bei keiner Gleichung zu einem Ergebnis. Habe ich etwas falsch gemacht?

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Bin jetzt zu t=-1 und k=0 gekommen, kann das richtig sein?

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Prima, freut mich, wenn ich helfen konnte :-D

Die Gleichungen hast Du richtig aufgestellt:

I. 6t = -6 + 6k | : 6 ergibt t = k - 1

II. -4 + 7t = -11 + 7k | 7t = -7 + 7k | : 7 ergibt t = k - 1

III. 5 - 5t  = 10 + 5k | -5t = 5 + 5k | : (-5) ergibt t = -k - 1

II und III:

k - 1 = -k - 1 | + k

2k - 1 = -1 | + 1

2k = 0

k = 0

Das in I. eingesetzt:

t = k - 1 = 0 - 1 = -1

Schnittpunkt:

Zunächst für g:

(0|-4|5) + (-1) * (6|7|-5) = (-6|-11|10)

Dann für h:

(-6|-11|10) + 0 * (6|7|5) = (-6|-11|10)

Hier ist es also nochmal gut gegangen :-D

Wenn die beiden Geraden nicht parallel sind und Du dann mit diesem Verfahren keinen Schnittpunkt findest, dann sind die beiden Geraden "windschief" zu einander: Weder parallel noch Schnittpunkt - sie gehen also im Raum einfach aneinander vorbei.

Mach Dir das bitte einmal visuell klar :-)

Besten Gruß

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Super, dann haben wir beide ja dasselbe Ergebnis!!