Winkelfunktion integrieren: f(x)= sin²(x)

Question

ich würde gerne wissen wie man diese Funktion aufleitet?

f(x) = sin²(x)

F(x) = ?

Comments

------> x/2  - sin 2x/4 !

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Der Rechenweg (sicher git es noch andere) über zweimalige, partielle Integration steht vermutlich in deinem Mathebuch.

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Hab leider kein mathe buch ... ich weiss nur das man die formel anwenden muss .aber irgendwo mach ich was falsch ...man hat doch u*v-u'*v  und das rechte integral wird doch aufgeleitet und dann zusammen gefasst oder ?

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Hier musst Du zweimal partiell integrieren. Das gesuchte integral steht danach mit negativem Vorzeichen auch auf der rechten Seite der Gleichung, so dass die Gleichung nach dem Integral umgestellt werden kann.

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https://www.youtube.com/watch?v=hlU8rUnrNiI

In dem angeführten Video wird eine ähnlich gelagerte Aufgabe durchgerechnet. Sie ist sicher leicht auf deinen Fall zu übertragen.

Answer 1

Machst du am besten partielle Integration nach dem Muster
Integral über u* v ' =  u*v  - Integral über u ' * v

Integral sin(x)*sin(x) dx = sin(x)*( - cos(x) )  -  integral cos(x) * ( - cos(x) ) dx

Integral sin(x)*sin(x) dx =  - sin(x)* cos(x)   + integral cos(x) *  cos(x) ) dx

Integral sin(x)*sin(x) dx =  - sin(x)* cos(x)   + integral (  1 -  sin(x) * sin (x) ) dx

Integral sin(x)*sin(x) dx =  - sin(x)* cos(x)   + integral (  1 dx )      -  integral sin(x) * sin (x) ) dx  

Jetzt auf beiden Seiten + integral sin(x) * sin (x) ) dx  

2*Integral sin(x)*sin(x) dx =  - sin(x)* cos(x)   + integral (  1 dx )


2*Integral sin(x)*sin(x) dx =  - sin(x)* cos(x)   + x


Integral sin(x)*sin(x) dx =  - 1/2 *sin(x)* cos(x)   +  1/2 x

Also ist   - 1/2 *sin(x)* cos(x)   +  1/2 x eine Stammfunktion.