Extremwertaufgabe mit Kegel Volumen maximal mit Radius r nicht gegeben

Question

ich brauch bitte Hilfe bei der Aufgabe:

Gegen ist ein Kreis mit dem Radius r. Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel.

Bei welchem Zentriwinkel α des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalem Volumen? 

Haupbedingung ist klar:

V=1/3πr²h   (soll maximal werden)

Nebenbedingung:

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Die Aufgabe ist möglicherweise ein wenig unglücklich formuliert. Der Radius r, von dem in der Aufgabe die rede ist, ist wohl nicht der Grundkreisradius, sondern der Radius des Kreissektors, der den Mantel bilden soll. Dieser Radius soll, und das ist die Nebenbedingung, als konstant angenommen werden.

Answer 1

Hier einmal mein Vorschlag

Nach alpha differenziern ( 1.Ableitung bilden ), zu 0 setzen.
Als Ergebnis erhalte ich für den Extremwert
a = 293 °

mfg Georg

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Hi, danke für ausführliche Antwort.

Kann ich den Teilumfang so berechnen:

b= Bogenmaß

b=2π*r-(2π*α)/360° ??

Ich habe nochmal nachgesehen, in der Aufgabe beschreibt α den Teil, der aus dem Kreisausschnitt rausgenommen ist und nicht den Teil, der noch übrig bleibt. Macht das einen Unterschied?

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und warum kannst du einfach Umfang vom Kreisausschnitt und vom Kreis gleichsetzen? Grüße

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ZU : Angabe des Winkels in Bogenmasss oder Grad.

Der Winkel kann in Bogenmass oder Grad angegeben werden.
Umrechnung durch :
alpha / 360 = b  / ( 2 * π )

Ausgehend von einer Kreisscheibe schneide ich einen Teil heraus.
Dann füge ich die Enden wieder zusammen.
Der Kreis wölbt sich nach oben und ergibt einen Kegel.
Der Umfang des Teilkreises entspricht dem Umfang der Grundfläche
des Kegels.

Beispiel rk = 10 cm
Umfang rk * 2 * π = 62.83 cm
90 ° werden herausgetrennt.
Länge des verbleibenden Stücks
62.83 * 270 / 360 = 47.12 cm

Die ist der Umfang der Grundfläche des Kegels
47.12 = 2 * π * r
r = 7.5 cm

Die Grundfläche des entstandenen Kegels hat einen Radius von 7.5 cm.

Soviel zunächst.

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ok, ich habe es bis hierher nachvollzogen.

Du hast bei der Länge des verbleibenden Stücks gesagt das 90° von 360 3/4 sind und hast dann die Länge des Umfangs vom gesamten Kreis * die 3/4 gerechnet. :-)

das ist die Berechnung des Teilumfangs.. oder?

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cool, es wird langsam... zum lezten Teil hätte ich noch eine Frage:

da setzte ich ja in die Formel V=1/3πr²h  ein oder?

fehlt dann oben noch das hoch 2 bei 'r' bei dir?

und warum - h oder ist das ein Malzeichen ?

und ich müsste dann umstellen und V(α) stehen haben ?
Grüße

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Meine Fehler hast du gut erkannt.
Das Quadrat fehlt und das Minuszeichen soll ein " mal " sein.
Leider  ist eine manuelle Lösung sehr umfangreich.
Hier die Schritte mit meinem Matheprogramm.

Soll die Aufgabe ohne GTR gelöst  werden ?

mfg Georg

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Hier noch die Funktion V in Abhängigkeit von a.
Max bei 293.94 °

Gemäß deiner Skizze
Alpha = 360 - 293.94 °

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GTR können wir ab der Zielfunktion benutzen, aber wir haben Casio fx-cg20 und keine Classpad, also keine Computeralgebra und müssen manuell umformen. Ist mein x jetzt α, also V in Abhängigkeit von α? Ich kann die Funktion mit dem Parameter gar nicht zeichnen, oder?

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In meiner Rechnung habe ich a als Unbekannte angegeben
V ( a ) =
Du kannst auch a durch x ersetzen und
V ( x ) annehmen.
Manuelles Umformen : habe ich versucht, ist aber viel zu aufwendig.
( siehe obige Lindwürmer )
Ich glaube nicht das dies von euch verlangt wird.
Ohne GTR geht es praktisch nicht.

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ah ok, Lindwürmer habe ich auch noch nicht gehört :-D

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siehe
https://de.wikipedia.org/wiki/Lindwurm

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Ich habe heute noch rausbekommen, dass ich  für rk einfach eine beliebige Zahl >0 einsetzen kann, weil egal wie groß der Kegel wird, der Winkel bleibt gleich. Und somit kann ich die Funktion Plotten lassen und muss nicht noch umstellen und komme auch auf den Winkel 294°. Sehr cool!

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Der Gedanke rk   = 1 zu setzen kam mir auch. Dadurch wird es etwas
einfacher wenn man alles manuell berechnen will.