Ich habe versucht einen zweiten Weg zur mittleren Änderungsrate zu finden.
Dafür muss ich folgendes beweisen:
$$ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } =\frac { f'(x)-f'({ x }_{ 0 }) }{ n } $$
Der rechte Term muss nur für die Form $$ f(x)=a{ x }^{ n }+m $$ gelten.
Um das zu beweisen muss ich einen Fehler in folgendem Versuch umgehen: Beweis_zur_durchschnittlichen_Änderungsrate.pdf (0,2 MB)
Hier habe ich folgende Rechnung:$$ \frac { a{ x }^{ n }-a{ { x }_{ 0 } }^{ n } }{ x-{ x }_{ 0 } } =\frac { a{ x }^{ n } }{ x } -\frac { a{ { x }_{ 0 } }^{ n } }{ { x }_{ 0 } } =a{ x }^{ n-1 }-a{ { x }_{ 0 } }^{ n-1 } $$
Der Fehler ist im mittleren Term, man kann nämlich nicht einfach den Bruch aufsplitten, oder doch? Ich muss aber trotzdem zum rechten Ergebnis kommen. Wenn das nicht funktioniert, dann würde mir eine möglichst vereinfachte Form trotzdem weiterhelfen. Eine mögliche alternative Form für den oberen rechten Term:
$$ \frac { f'(x)-f'({ x }_{ 0 }) }{ ? } $$
