Rekonstruktion // Steckbriefaufgabe

Question

Ich übe gerade für die nächste Mathearbeit und wollte euch beten, eine ( gerne auch mehrere ) einfache Aufgaben zu stellen, die das Thema Rekonstruktion behandeln. Ich weiß, ihr werdet jetzt stöhnen:,,Mach doch Aufgaben im Buch." , aber ich finde, da man da keine richtige Lösung sieht, habe ich keinen Aha-Effekt oder Erfolgsgefühl.

Also bitte eine ( leichte ) Aufgabe stellen, erst mal theoretisch, das heißt keine Textaufgaben und bitte dazu bereit sein, meine richtige oder falsche Lösung zu überfliegen und ggf. zu berichtigen.

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Gruß Luis

Comments

Welche Art von Funktion? Polynome ? Oder kannst du schon mehr?

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Ja genau, Polynome. 3.Grad und dann genauere Beschreibungen evntl. wie Punktsymmetrisch oder im Punkt (x|y) ist die Steigung = m Wir haben das Thema zum ersten Mal, daher behaupte ich mal kleinlaut ich weiß noch nicht gerade viel :D

Answer 1

Ein durch den Koordinatenursprung verlaufender Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades besitzt bei x=6 eine Nullstelle und bei x=3 eine Wendestelle mit der Steigung m=-3. Bestimmen Sie f(x)!

Viel Spaß! ;)

LG

Comments

Danke für die Aufgabe !
3.Grad heißt f(x) =  ax³ + bx² + cx +dWir haben 4 Variabeln, also benötigen wir 4 Gleichungssysteme.Mehrere Punkte sind gegeben. Die Nullstelle ist bei (6|0).1.f(6)=0a*6³ + b*6² + c*6 +d=0216a+36b+6c+d=0- 
2. Wendestelle bei x = 3f''(3)=0f(x) =  ax³ + bx² + cx +d 
f'(x)= 3ax² + 2bx + cf''(x)= 6ax + 2bf''(3) = 18a +2b = 0-3. Steigung bei -3 im Punkt 3 anscheinend ? Bisschen undeutlich geschildert, aber ist ja nur zu Übungszweckenf'(3) = -3f'(x)= 27a + 6b + c = -3 4. War ein bisschen versteckt, aber wir haben ja den Koordinatenursprung ! hehe
Also ein erneuter Punkt (0|0)f(0)=0f(x) =  0+ 0 + 0 +d = 0. Das heißt d = 0
Wäre mir das früher aufgefallen hätte ich weniger Schreibarbeit gehabt .. Also gut: Alle Gleichungssysteme.I.216a+36b+6c=0II.18a +2b = 0III.27a + 6b + c = -3 IV.(d=0)Vorgehensweise, Additionsverfahren.I.-III.  216a+36b+6c=0
- 27a + 6b + c = -3 | *6 --> 162 a + 36 b + 6c= -18--    216a+36b+6c=0-   162 a + 36 b + 6c= -18   54a=18 a = 3 Nun a = 3 in II.18*3 +2b = 0-54=2b |:2-27 = b Nochmal I. 216* 3+36 * -27 =-6c
648 -972 = -6c | :- 6108 = c d= 0 f(x) =  3x³ + -27x² + 108x Die Zahlen scheinen mir ein bisschen hoch, hoffe trotzdem es ist alles richtigGruß Luis  

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Schau mal bei einem Plotter nach. Wenn nicht, kann ich dir bis morgen Abend die Lösung geben!

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Wie soll man das anstellen :`D ?

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Gute Frage^^. Ich rechen dir das bis morgen Abend mal nach!°

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Luisthebro: Zur Kontrolle musst du auch noch die Gleichung der Wendetangente aufstellen. (eine Gleichung eines Polynoms ersten Grades) und dann beide zusammen in ein Koordinatensystem zeichnen.

Answer 2

Graph eines Polynoms 3. Grades ist symmetrisch zu P(3 | -2), hat eine Wendetangente mit der Gleichung

y = -2 und den y-Achsenabschnitt 0.

Ich weiss jetzt (noch) nicht, ob da schöne Zahlen rauskommen. Probier mal.

Kontrolle: Funktionsplotter

oder https://www.wolframalpha.com/input/?i=+-2%2F27+x%5E3+%2B+2%2F3+x%5E2+-+2+x+

 und dort auch die alternate forms bei Wolframalpha ansehen.

Comments

Danke für die Aufgabe. Deine ist ein bisschen zu schwer vermute ich, aber ich versuche mich mal daran.

1.) Polynoms 3. Grades ist symmetrisch zu P(3 | -2)

Nur ungerade Exponenten, aufgrund der Punktsymmetrie zum Punkt 3 | -2 . 

Auf jeden Fall sehe die Grundform so aus : 

f(x) = ax³ - bx 

f'(x) = 3ax² - b

f''(x) = 6ax 

Der Punkt zu dem die Funktion symmetrisch ist, ist aller Wahrscheinlichkeit nach auch der Wendepunkt der Funktion.

Also ist 

f(3) = -2

f(3) = 27a-3b = -2 

f''(3)=0

f''(3)= 18a = 0 Oder nicht ? Da wäre a ja 0 und daher die Aufgabe nicht so wie in deinem Link. Wo habe ich den Fehler gemacht ? Ist der Punkt nicht der Wendepunkt ?

Gruß Luis

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Alle Polynome 3. Grades sind symmetrisch bezüglich ihres Wendepunktes. Da kannst du noch nicht auf die ungeraden Potenzen von x schliessen.

Du kannst den Wendepunkt ähniich wie den Scheitelpunkt einer Parabel ansehen oder einfach von den Eigenschaften eines Wendepunktes ausgehen.

Nun klarer?

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P(3 | -2), hat eine Wendetangente mit der Gleichung

y = -2 und den y-Achsenabschnitt 0.

Heißt das man kann sagen, dass f'(3) = 0 ist ? Weil die Wendetangente keine Steigung hat oder?

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Ja. Genau!

f ' (3) = 0

Nun noch 'Wende-' ausnützen.

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Graph eines Polynoms 3. Grades ist symmetrisch zu P(3 | -2), hat eine Wendetangente mit der Gleichung 

y = -2 und den y-Achsenabschnitt 0.

f(x) = ax³ +bx²+cx+d

f'(x) = 3ax² - 2bx + c

f''(x) = 6ax -2b

I.f(3) = -2 

II.f''(3)=0

III. f'(3)=0

IV.f(0)=0

Stimmt das so weit ? 

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f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax +2b

Den Rest hast du schön gemacht.

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Oh, ich weiß nicht wie ich da auf - kam. Danke für die Aufgabe. Nun für alle Gleichungen den entsprechenden x-Wert einsetzen und die Gleichungssysteme zusammenführen. Das ist ja nicht allzu schwer. 
Gruß Luis

PS: Kommt der Nickname "Lu" ebenfalls von dem Namen Luis oder ist da eine andere Bedeutung versteckt ?

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Bitte für die Aufgabe!

PS: Mein Name 'Lu' hat nichts mit Luis zu tun.