Grenzwert der Aufgabe berechnen .

Question

$$ Berechnen\quad sie\quad den\quad Grenzwert\quad von\quad \frac { cosh\quad x\quad +\quad cos\quad x }{ { e }^{ x } } .\quad x\quad läuft\quad gegen\quad \infty .\\ Kann\quad mir\quad jemand\quad schrittweise\quad erklären\quad wie\quad ich\quad auf\quad die\quad Lösung\quad komme?\\  $$

Answer 1

zu erst: \(\cos(x)\) ist beschränkt, darum gilt \( \lim \limits_{x\to\infty} \frac{cos(x)}{e^x}  = 0 \).

Es reicht also nur noch zu betrachten was mit \( \lim \limits_{x\to\infty} \frac{\cosh(x)}{e^x} \) ist.

Den Grenzwert davon kann man einfach mit der Definition von \( \cosh(x) \) zeigen.

Das darfst du gerne übernehmen.

Als Ergebnis sollte \( \frac{1}{2} \) rauskommen.

Gruß

Comments

$$ Genau\quad ab\quad dem\quad Punkt\quad kam\quad ich\quad nicht\quad weiter.\\ Es\quad folgt:\\ \frac { 1 }{ 2 } \frac { { e }^{ x }+{ e }^{ -x } }{ { e }^{ x } } =\frac { 1 }{ 2 } *\frac { { e }^{ 2x }+1 }{ { e }^{ x } } \quad da\quad oben\quad die\quad größere\quad Potenz\quad steht\\ führt\quad dies\quad zu\quad \frac { 1 }{ 2 } *\quad \infty \quad welches\quad ja\quad nicht\quad das\quad gewünschte\\ Ergebnis\quad ist.\quad l'Hopital\quad bringt\quad immer\quad noch\quad nichts. $$

Hab einen Fehler in meiner Rechnung gefunden, setze mich nochmal ran.

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Ja l'Hospital hat in der Aufgabe nix verloren.

Forme richtig um dann sollte es glasklar sein.

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Komme auf ½*(e^{2x}+1)/e^{2x} welches auf 0 folgern lassen würde. Finde einfach meinen Fehler nicht :/

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Ist doch richtig! Nur noch fertig umformen

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2e^{2x}}$$

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Ah da lag mir wohl tatsächlich ein Brett vorm Kopf. Danke für deine Hilfe!