Fibonacci. Beweise f(n+1)(f(n-1) - fn^2 = (-1)^n

Question

Beweise:

(f_n+1)(f_n-1) - f_n² = (-1)ⁿ

Answer 1

Beweis per Induktion über \(n\):
Induktionsanfang: Klar für \(n=2\).
Induktionsvoraussetzung: Die Aussage gelte für ein \(n>1\).
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Aussage für \(n+1\) gilt.
Nach Definition und Induktionsvoraussetzung gilt:
\begin{aligned}f_n\cdot f_{n+2}&=f_n\cdot(f_n+f_{n+1})\\&=f_n^2+f_n\cdot f_{n+1}\\&=\big(f_{n-1}\cdot f_{n+1}-(-1)^n\big)+f_n\cdot f_{n+1}\\&=(f_{n-1}+f_n)\cdot f_{n+1}-(-1)^n\\&=f_{n+1}\cdot f_{n+1}-(-1)^n\\&=f_{n+1}^2+(-1)^{n+1}.\end{aligned}