Wahrscheinlichkeitsrechnung. Beispiel Biathlon

Question

Aufgabe a) und b) konnte ich lösen.
die folgenden leider nicht mehr.

Bei c) und d) habe ich das Problem, dass ich ja stehend und liegend miteinbeziehen muss, leider weiß ich nicht wie ich das tun soll.

Vielen Dank für Eure Antworten!

Aufgabe:

Die Sportart Biathlon ist eine Kombination aus Skilanglauf und Schießen.

Bei einem Wettkampf hat der Biathlet die Aufgabe, fünfmal stehend und fünfmal liegend auf eine Scheibe zu schießen. Seine im Training ermittelte Trefferquote beträgt beim Stehend-Schießen 70 %, beim Liegend-Schießen 85 %.

a) Wie wahrscheinlich ist es, dass der Sportler beim Stehend-Schießen alle fünf Scheiben trifft? 0,1681

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit macht er liegend höchstens zwei Fehlschüsse? 0,97

c) Wie wahrscheinlich ist es, dass er im ganzen Wettkampf genau zwei Fehlschüsse macht? 0,301

d) Wie wahrscheinlich ist es, dass er im ganzen Wettkampf höchstens einen Fehlschuss macht? 0,3002

e) Beim Staffellauf darf der Schütze nach einem Fehlschuss nachladen. Wie wahrscheinlich ist es, dass er beim Stehend-Schießen erst mit dem achten Schuss die fünfte Scheibe trifft? 0,1588

Answer 1

Hallo D4vid, 

leider komme ich auf etwas andere Ergebnisse als auf Deinem Arbeitsblatt angegeben, aber meine Vorgehensweise sollte prinzipiell richtig sein:

Trefferquote stehend = 70%,

Trefferquote liegend = 85%.

Damit Trefferquote insgesamt (0,7 + 0,85) / 2 = 0,775

Dies ist falsch - richtige Berechnung siehe unten im Kommentar vom 25. 03. 2015 !!!

c) Wettkampf = 10 Schuss; p = 0,775; genau zwei Fehlschüsse

P("genau zwei Fehlschüsse") = P("8 Treffer") = (10 über 8) * 0,775⁸ * 0,225² ≈ 0,2965

d) höchstens einen Fehlschuss

P("höchstens einen Fehlschuss") = P("9 Treffer") + P("10 Treffer") = 

(10 über 9) * 0,775⁹ * 0,225¹ + (10 über 10) * 0,775¹⁰ * 0,225⁰ ≈ 30,51%

Besten Gruß

Comments

Danke fürs durchrechnen!
Also ich bin unabhängig davon auch zu diesen Ergebnissen gekommen, nur haben mich die falschen Lösungen verunsichert, deshalb wollte ich nachfragen.

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Gerne!

Dann hat sich die Wahrscheinlichkeit, dass Deinen Lösungen falsch sind, ja stark verringert, da Deine und meine  Ergebnisse ja stochastisch unabhängig voneinander sind :-)

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Hihi :D

Wobei wir bei meinem nächsten Problem wären.
disjunkte/nicht disjunkte Ereignisse und unabhängige/abhängige Ereignisse... :'D

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Oh, oh - das ist in der Tat problematisch :-D

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Eine Frage hätte ich dannn noch:

wie funktioniert Aufgabe e) ?

lg

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Mh, ich würde sagen: 

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze beim Stehend-Schießen erst mit dem achten Schuss die fünfte Scheibe trifft, lässt sich folgendermaßen berechnen: 

Er muss mit 7 Schuss 4 Scheiben getroffen haben, und dann muss er mit dem 8. Schuss die 5. Scheibe treffen. 

P = (7 über 4) * 0,7⁴ * 0,3³ * 0,7 ≈ 0,1588

Wow, das sieht ja ganz gut aus :-D

LG

Andreas

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Also ist der erste teil mit der Binimialverteilung zu berechnen und die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem letzten (bzw. allgemein stehend) Schuss die scheibe trifft ist 0,7 um zur lösung zu kommen muss ich beide wahrscheinglichkeitn multiplizieren. Dann man dass so sagen? :D

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Ganz genau so ist es!

Die beiden Ergebnisse (mit 7 Schuss 4 Scheiben treffen | im 8. Schuss die 5. Scheibe treffen) sind voneinander unabhängig (wir haben sozusagen zwei "Durchgänge"); deshalb werden die Wahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert.

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Dann hat sich die Wahrscheinlichkeit, dass Deinen Lösungen falsch sind, ja stark verringert

Das stimmt nicht, sie beträgt leider immer noch 100%

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@ Gast hj213:

O.k. - wie wäre dann die 100%ig richtige Lösung?

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c :  0,3012

d :  0,30017

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Danke für die Korrektur!

Kannst Du bitte auch den Rechenweg angeben?

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@ Gast hj213:

Da kommt natürlich nichts mehr - warum wundert mich das nicht?

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@ Brucybabe: Der Gast hat leider recht. Du kannst nicht einfach den Mittelwert benutzen sondern musst das Stehend schießen und das Liegend schießen voneinander unterscheiden. Daher auch die Abweichung in deinen Ergebnissen.

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@ Yakyu:

So sehen sinnvolle Hinweise aus! Ich werde mir bei Gelegenheit die Aufgabe unter diesem Gesichtspunkt nochmal vornehmen.

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Kein Thema gerne :). Die Approximation durch die Verwendung des Mittelwert liefert in diesem Fall aber auch echt nahe Werte an den eigentlichen Ergebnissen, so dass die Vermutung, dass man es einfach benutzen darf (außerhalb der mathematischen Sicht jetzt) gar nicht so weit hergeholt ist ;)

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Ich korrigiere jetzt auf die Hinweise des Gastes hj213 und von Yakyu meine Berechnung - besser spät als nie :-)

c) Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze im ganzen Wettkampf genau zwei Fehlschüsse macht:

P("stehend zwei Fehlschüsse und liegend keinen Fehlschuss") = (5 über 2) * 0,7³ * 0,3² * 0,85⁵ = 0,13697183

+

P("stehend einen Fehlschuss und liegend einen Fehlschuss") = (5 über 1) * 0,7⁴ * 0,3 * (5 über 1) * 0,85⁴ * 0,15 =

0,1410004132

+

P("stehend keinen Fehlschuss und liegend zwei Fehlschüsse") = 0,7⁵ * (5 über 2) * 0,85³ * 0,15² = 0,0232235975

=

0,3011958407

d) Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze im ganzen Wettkampf höchstens eine Fehlschuss macht:

P("nur Treffer") = 0,7⁵ * 0,85⁵ = 0,0745735519

+

P("liegend nur Treffer, stehend einen Fehlschuss") = 0,85⁵ * (5 über 4) * 0,7⁴ * 0,3¹ = 0,1598004683

+

P("liegend einen Fehlschuss, stehend nur Treffer") = (5 über 4) * 0,85⁴ * 0,15¹ * 0,7⁵ = 0,0658001928 

=

0,300174213

Sorry für die vormals falschen Antworten an

D4vid,

Gast hj213

Yakyu

Besten Gruß

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Kein Problem..
Besten Dank an alle!

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Sehr gern geschehen :-)