Aufgabe 10:
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion den in der Vorlesung formulierten Multinomialsatz:
Für alle \( m \in \mathbb{N}, n \in \mathbb{N} \cup\{0\} \) und \( x_{1}, \ldots, x_{m} \in \mathbb{R} \) gilt
\( \left(x_{1}+\ldots+x_{m}\right)^{n}=\sum \limits_{0 \leq \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m} \leq n \atop \alpha_{1}+\ldots+a_{m}=n} \frac{n !}{\alpha_{1} ! \ldots \cdot \alpha_{m} !} x_{1}^{\alpha_{1}} . \ldots \cdot x_{m}^{\alpha_{m}} \)
Aufgabe 11:
Beweisen Sie:
(a) Jede natürliche Zahl \( n \) besitzt eine \( b \)-adische Darstellung \( \left(b \in \mathbb{N}_{\geq 2}\right) \), d.h. es existieren \( m \in \mathbb{N} \) und \( z_{0}, z_{1}, \ldots, z_{m} \in\{0,1, \ldots, b-1\}, z_{m} \neq 0 \), sodass
\( n=\sum \limits_{k=0}^{m} z_{k} b^{k}=:\left(z_{m} \ldots z_{1} z_{0}\right)_{b} \)
(b) Die Stellenanzahl \( m+1 \) und die Ziffern \( z_{0}, z_{1}, \ldots, z_{m} \) sind eindeutig durch \( n \) und \( b \) bestimmt.
Hinweis: Verwenden Sie als Hilfsmittel die Division mit Rest, d.h. \( n=q b+r \) mit eindeutig bestimmten Zahlen \( q \in \mathbb{N} \cup\{0\} \) und \( r \in\{0,1, \ldots, b-1\} \).
Aufgabe 12:
Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum folgender Teilmengen von \( \mathbb{R} \) (falls existent). In welchen Fällen liegt ein Maximum bzw. ein Minimum vor?
\( \left\{\frac{n-1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}, \quad \mathbb{Q} \cap[\sqrt{5}, \sqrt{6}], \quad\left\{x+\frac{1}{x}: \frac{1}{2}<x \leq 2\right\} \)
